“La” definición formal no es una descripción única de la noción de límite. Es solo uno con el que es relativamente fácil trabajar.
Pero tomemos la noción del límite y veamos con qué podemos lidiar.
Informalmente, decir que [matemáticas] \ lim_ {x \ a a} f (x) = L [/ matemáticas] es decir que puede obtener [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] arbitrariamente cerca de [matemáticas] L [/ math] como [math] x [/ math] se acerca (pero no es igual) a [math] a [/ math].
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¿Qué queremos decir con “cierre arbitrario”? Queremos decir que la distancia entre [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] y [matemáticas] L [/ matemáticas] es menor que algún valor arbitrario. Dado que la distancia entre dos números es el valor absoluto de su diferencia, eso significa que queremos que [math] | f (x) – L | [/ math] sea arbitrariamente pequeño. Eso funciona para [matemáticas] | f (x) – L | 0 [/ math].
¿Qué queremos decir con [matemáticas] x [/ matemáticas] se acerca a [matemáticas] a [/ matemáticas]? Nuevamente, esto significa que la distancia es pequeña, pero en este caso, también queremos que no sea cero. Entonces eso nos da [math] 0 <| xa | <\ epsilon [/ math] para algunos epsilon. Queremos que cualquier [matemática] x [/ matemática] en ese rango se asigne dentro de [matemática] \ delta [/ matemática] de [matemática] L [/ matemática]
Estamos dispuestos a permitir que [math] \ epsilon [/ math] dependa de [math] \ delta [/ math], siempre que cualquier [math] \ delta [/ math], un [math] \ epsilon existe [/ math].
Entonces eso nos lleva, en palabras:
Para cualquier [math] \ delta> 0 [/ math], existe un [math] \ epsilon [/ math] tal que para todos [math] x [/ math], si [math] x [/ math] está dentro de [matemática] \ epsilon [/ matemática], pero no igual a [matemática] a [/ matemática], entonces [matemática] f (x) [/ matemática] está dentro de [matemática] \ delta [/ matemática] de [matemática] L [/ matemáticas].
O, en términos de cuantificadores y otros símbolos:
[matemáticas] \ forall \ delta> 0 \ existe \ epsilon \ forall x \ in \ mathbb {R}: 0 <| x – a | <\ epsilon \ implica | f (x) – L | <\ delta [/ matemáticas]
Esta es (probablemente) “la” definición formal a la que se refería.
Pero no es la única forma de traducir el sentido de los límites.
Considere, por ejemplo, la noción de la “imagen” de un conjunto mediante una función [math] f [/ math]. Con esto, quiero decir que si [math] A [/ math] es un conjunto, entonces la imagen [math] f (A) = \ {f (x), x \ in A \} [/ math]. La imagen de un conjunto también es un conjunto.
Los intervalos son un tipo de conjunto. Específicamente, podemos usar la notación [math] (a, b) [/ math] para referirnos al conjunto [math] \ {x | a <x <b \} [/ math], o el conjunto de todos los números reales entre [math] a [/ math] y [math] b [/ math]. Este tipo de intervalo es un "intervalo abierto", y es todo lo que necesitamos en este momento.
En este lenguaje, podemos hablar de dos intervalos [matemática] \ Delta [/ matemática] y [matemática] E [/ matemática] (eso es mayúscula [matemática] \ epsilon [/ matemática], por cierto), con [matemática ] L \ in \ Delta [/ math] y [math] a \ in E [/ math], y luego podemos insistir en cualquier [math] \ Delta [/ math], hay una [math] E [/ math] con [matemática] f (E \ setminus \ {a \}) \ subset \ Delta [/ math].
Es decir, para cualquier intervalo [matemático] \ Delta [/ matemático] que contenga [matemático] L [/ matemático], hay un intervalo [matemático] E [/ matemático] que contiene [matemático] a [/ matemático] tal que la imagen de [math] E [/ math] excepto en [math] a [/ math] está contenido en [math] \ Delta [/ math].
Es fácil ver que la definición formal [matemática] \ epsilon- \ delta [/ matemática] está aquí: simplemente limítese a intervalos de la forma [matemática] \ Delta = (L- \ delta, L + \ delta) , E = (a- \ epsilon, a + \ epsilon) [/ math], y la definición basada en imágenes es idéntica.
También es fácil ver que escribir la definición basada en imágenes sin usar imágenes es complicado:
[matemáticas] \ forall \ delta_1, \ delta_2, \ delta_1 <L <\ delta_2, \ exist \ epsilon_1, \ epsilon_2, \ epsilon_1 <a <\ epsilon_2, \ forall x \ neq a: \ epsilon_1 <x <\ epsilon_2 \ implica \ delta_1 <f (x) <\ delta_2 [/ math]
Algunas formas de topología definen el límite utilizando la noción de “conjuntos abiertos”, que puede considerarse como una generalización de intervalos abiertos. En esa forma, el límite está redactado en la forma para cualquier conjunto abierto que contenga [math] L [/ math], hay un conjunto abierto que contiene [math] a [/ math] que se asigna (excepto en [math] a [/ matemáticas]) en el conjunto abierto dado. Es la misma idea, solo que un poco más general. Dado que los conjuntos abiertos se pueden definir en cosas que no sean intervalos (como los conjuntos abiertos en superficies o espacios, o cosas más extrañas de las que se sueñan en su filosofía), esta definición extiende la noción de un límite a un montón de cosas donde no es concebible utilizar razonablemente la definición formal [math] \ epsilon- \ delta [/ math].
Personalmente, creo que la forma de “mapas de conjuntos abiertos en conjuntos abiertos” es perfectamente elegante, encapsula muy bien la idea y es muy general. Pero es más difícil de explicar como una introducción que la versión [math] \ epsilon- \ delta [/ math], y es más difícil de usar por aquellos sin experiencia con pruebas para probar propiedades limitadas. Entonces, [matemáticas] \ epsilon- \ delta [/ matemáticas] se enseña primero.
