¿Qué tiene de malo esta prueba por inducción, que todas las colecciones de bolas son del mismo color?

El caso base está bien: en un conjunto de 1 bola, cada bola en el conjunto tiene el mismo color [asumimos que todas las bolas tienen un color distinto, es decir, sin rayas, etc.]

El problema está en el paso de inducción, y ocurre solo cuando se pasa de juegos de bolas de tamaño 1 a juegos de bolas de tamaño 2

Es decir, si n es mayor o igual que 2 y consideró un conjunto de n + 1 bolas con la propiedad de que:

en cada subconjunto de n bolas, todas las bolas en ese subconjunto tenían el mismo color

entonces cada bola en el conjunto completo debería ser del mismo color, precisamente por la razón que diste en tu argumento: quitando una bola (llámalo “b”) del conjunto, las n bolas restantes son del mismo color (digamos verde) – y hay al menos dos de esas bolas verdes (llámelas “c” y “d). Pero luego, si vuelve a poner “b” en el conjunto y quita una bola diferente (digamos que saca “c”), “b” ahora está en un conjunto de n bolas, por lo que debe ser del mismo color que todas las demás bolas en ese conjunto, y como sabemos que la bola “d” está en el conjunto y es verde, “b” también debe ser verde.

¿Pero ves que necesitábamos al menos 3 bolas para que esto funcione? Para mostrar que las bolas “b” y “c” eran del mismo color, tenía que haber una bola “d” que hubiera sido el subconjunto más pequeño con ambas, para “recordar” el color común del verde.

Citando más directamente de su prueba (esto es solo una repetición más clara de lo que escribí más extensamente arriba):

Si sacas una bola, las bolas restantes serán todas del mismo color, lo que sabemos por nuestra hipótesis de inducción.

Suficientemente cierto

Sacando otra bola, las bolas restantes también son del mismo color.

Suficientemente cierto

[matemáticas] Por lo tanto, todas las bolas tienen el mismo color. [/matemáticas]

Esto solo funciona si había una tercera bola, común a ambos conjuntos de “bolas restantes”

Entonces, la propiedad es válida para n = 1, y el argumento de que cuando la propiedad es verdadera para algún n, también es cierto para n + 1, cuando n es 2 o superior … pero ese argumento no lo lleva de 1 a 2.

En cualquier prueba por inducción, el argumento inductivo debe funcionar para todas [matemáticas] n \ en N [/ matemáticas], pero el argumento inductivo anterior ni siquiera funciona para [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas].

Supongamos, por ejemplo, que la proposición es válida para [matemática] n = 1 [/ matemática], es decir, que para cualquier colección de exactamente una bola, cada bola de esa colección tendrá el mismo color. No se deduce entonces que la proposición se mantendrá para [matemáticas] n = 2 [/ matemáticas], es decir, que para cualquier colección de dos bolas, cada bola de esa colección será del mismo color.

Es circular. “Supongamos que ahora todas las colecciones de bolas [math] n \ geq 1 [/ math] son ​​del mismo color”. Asumen exactamente lo que quieren probar, se desvían de la inducción y fingen que hicieron algo notable.

Pretenden usar un caso base de 1, pero luego usan la inducción de n + 1 a n en lugar de n a n + 1, lo que sería necesario.

Hiciste la pregunta y obtuviste una gran variedad de respuestas completamente diferentes de expertos en matemáticas. Solo podemos concluir que su prueba no tiene nada de malo, solo hay un problema con las matemáticas.