La clave de esta pregunta son las funciones del indicador (o características).
Esperemos que sepa que la cardinalidad de [math] \ mathcal P ({A}) [/ math] en este caso es [math] 2 ^ {n} [/ math]. Podemos mostrar esto considerando, para una [matemática] B \ in \ matemática P {(A)} [/ matemática], el mapa [matemática] f_ {B}: A \ a \ {0, 1 \} [ /matemáticas]
[matemáticas] f_ {B} (a) = 1 \ iff a \ en B [/ matemáticas].
Este mapa es único para todos [matemática] B [/ matemática], por lo que tenemos una inyección [matemática] \ matemática P \ izquierda ({A} \ derecha) \ a \ {0, 1 \} ^ {A} [/ matemáticas] (y de hecho esto es una biyección).
Podemos usar un truco similar aquí: para [math] (S, T) [/ math] en el conjunto que estamos considerando, considere el mapa [math] g _ {(S, T)}: A \ to \ {0 , 1, 2 \} [/ matemáticas]:
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[matemáticas] g _ {(S, T)} (a) = \ left \ {
\ begin {array} {ll}
2 & \ quad a \ en S \\\\
1 & \ quad a \ en T \\\\
0 & \ quad \ text {de lo contrario}.
\ end {array} \ right. [/matemáticas]
Porque tenemos que [math] S \ cap T = \ emptyset [/ math] esto está bien definido. Esto demuestra una biyección entre nuestro conjunto y [matemáticas] \ {0, 1, 2 \} ^ {A} [/ matemáticas], que tiene cardinalidad [matemáticas] 3 ^ {n} [/ matemáticas].
