¿Qué es una explicación intuitiva del producto de copa?

En resumen:

El producto de copa, anotado como [math] (\ phi \ smile \ psi) [/ math], pega dos representaciones dimensionales inferiores de grupos (generalmente diferentes) en un objeto que opera en un grupo dimensional superior.

Como ejemplo, imagine que tiene dos círculos, cada uno con una “forma 1” genérica (explicada en el apéndice) definida en ellos, [math] \ psi (\ theta) = f (\ theta) d \ theta [/ math ] El producto cup combina estos campos de manera que puede tener una “forma 2”, [matemática] \ psi_1 \ wedge \ psi_2 = f_1 (\ theta_1) f_2 (\ theta_2) d \ theta_1 \ wedge d \ theta_2 [/ matemáticas], incrustado en el toro.

En un caso simple, [math] f_ {1,2} (\ theta) = R_ {1,2} [/ math], interpretado como radios de los círculos, e integrando sobre esta forma 2 da el área de superficie de la toro. En un caso más complejo, puede imaginar un campo, como la aspersión de densidad en una rosquilla.

Lo largo de esto:

El producto de copa es una forma natural de extender el mapa de cadenas a un espacio de dimensiones superiores (la secuencia de las cadenas se denomina “complejo de cadenas”). Para profundizar en esto, aprendamos un poco sobre geometría diferencial.

¿Qué es un cochain?

Hay muchas matemáticas profundas y rigurosas por ahí, pero personalmente me gusta trabajar en el mundo de la cohomología De Rahm (el estudio de funciones suaves en múltiples lisos), ya que sus aplicaciones son profundamente aplicables en física. La notación para un complejo cochain en De Rahm es la siguiente,

[matemáticas]
d: \ Omega ^ k (M) \ rightarrow \ Omega ^ {k + 1} (M)
[/matemáticas]

¿Qué significa esto? En primer lugar, [math] \ Omega ^ 0 (M) [/ math] es la “cochain” que es el conjunto de todas las funciones suaves que viven en el múltiple M yd es un operador de “derivada exterior” que toma un objeto de un nivel inferior espacio dimensional a uno superior.

Tomemos un ejemplo específico, una función f (x, y) en [matemáticas] M = R ^ 2 [/ matemáticas]. Luego

[matemáticas]
df (x, y) = f_xdx + f_ydy
[/matemáticas]

Vale la pena señalar el importante resultado que

[matemáticas] d ^ 2f = (f_ {xx} dx + f_ {xy} dy) \ wedge dx [/ matemáticas]
[matemáticas] + (f_ {yx} dx + f_ {aa} dy) \ wedge dy [/ math]
[matemáticas]
= f_ {xy} dy \ wedge dx + f_ {yx} dx \ wedge dy
[/matemáticas]
[matemáticas] = 0 [/ matemáticas]

(Lo siento, pero no puedo conseguir que Quora formatee la segunda línea con espacios).

Esto se debe a que el producto de la cuña (ver Álgebra exterior) es antisimétrico, es decir, [math] dx \ wedge dy = -dy \ wedge dx [/ math]. Resulta que [matemáticas] d ^ 2 = 0 [/ matemáticas] implica que los fotones median la fuerza electromagnética.

¿Qué pasa con [matemáticas] \ Omega ^ 1 (R ^ 2) [/ matemáticas]? Aquí es donde presentamos cosas llamadas “formas 1”, que ya vimos un ejemplo de arriba. En general, una forma 1 se escribe como [math] \ omega = fdx + gdy [/ math], y aplicando la derivada exterior obtenemos

[matemáticas]
d \ omega = (g_x – f_y) dx \ wedge dy
[/matemáticas]

(Esto debería ser similar a un producto Cross). El objetivo de estos derivados exteriores y productos de cuña es que conduce a la versión generalizada del teorema de Stokes y el teorema fundamental del cálculo,

[matemáticas]
\ int _ {\ parcial X} f = \ int_X df
[/matemáticas]

Esto dice que si tiene alguna superficie cuya función está integrando, es equivalente a integrar la derivada (exterior) de esa función sobre CUALQUIER objeto que contenga esa superficie como límite.

¿Qué tiene esto que ver con los productos de taza?

El producto de copa (como un producto tensorial) le permite pegar dos espacios de funciones separados para crear un espacio de funciones de dimensiones superiores. Continuando con el ejemplo anterior

[matemáticas]
\ Omega ^ 1 (R ^ 2) \ smile \ Omega ^ 1 (R ^ 2) \ sim \ Omega ^ 2 (R ^ 2)
[/matemáticas]

El producto de copa se realiza a través del producto de cuña. Lo que dice lo anterior es que el producto de cuña entre las formas 1 en el mismo espacio es una forma 2 en el mismo complejo cochain. Este ejemplo es trivial, pero puede imaginarse pegando formas 1 en diferentes colectores, como pegar círculos a cada punto en el espacio (que es como se puede ver el electromagnetismo).

¿Qué pasa con las aplicaciones?

Equivalencia topológica

Los productos de copa ayudan a distinguir los espacios topológicos entre sí. Es decir, dos espacios, [math] M_1, M_2 [/ math], son topológicamente equivalentes iff para cualquier [math] m, n [/ math]

[matemáticas] \ Omega ^ n (M_1) \ smile \ Omega ^ m (M_1) = \ Omega ^ n (M_2) \ smile \ Omega ^ m (M_2) [/ math]

Teoria de las cuerdas

En física, especialmente la teoría de cuerdas, es común unificar objetos en diferentes espacios. En la teoría de cuerdas es importante estudiar la geometría [matemática] M \ veces X [/ matemática], donde [matemática] M [/ matemática] es un espacio Minkowski de 4 dimensiones (nuestro espacio-tiempo diario) y [matemática] X [/ matemática] es el espacio Calabi-Yau de 6 dimensiones (la teoría de cuerdas requiere que el espacio tenga 10 dimensiones, y los espacios Calabi Yau evitan que ciertos cálculos exploten hasta el infinito). Los espacios de Calabi-Yau se pueden reducir como

[matemáticas] X = \ Omega \ times \ bar {\ Omega} [/ matemáticas],

donde [math] \ Omega = f dz_1 dz_2 dz_3 [/ math] es el conjunto de formas complejas de 3 valores. [math] \ Omega, \ bar {\ Omega} [/ math] son ​​espacios distintos, por lo que cuando combinamos objetos físicos a partir de ellos tenemos productos de “copa” o “cuña” que luego se pueden usar para comprender la física en su totalidad Configuración de 6 dimensiones. Nuestra integración general para la teoría de cuerdas topológicas involucra el espacio del producto

[matemáticas]
S = \ Omega \ times \ bar {\ Omega} \ times M
[/matemáticas]

Gran parte de la teoría de cuerdas implica una comprensión profunda de los mapeos de los objetos físicos en cada subespacio incrustado y cómo se unen para formar nuevos procesos físicos en el fondo general del espacio-tiempo de 10 dimensiones.

Apéndice 1: formas n

Las formas n son construcciones que ayudan a definir campos y orientaciones sobre espacios físicos. El hecho de que nos importe la orientación nos lleva a la propiedad de que [math] dx \ wedge dy = -dy \ wedge dx [/ math]. Con esto en mente, cuando ves un objeto como

[matemática] \ omega = f dx_1 \ cuña dx_2… \ cuña dx_n [/ matemática]

simplemente está definiendo un “campo” que puede integrarse sobre una superficie n-dimensional (quizás f es una densidad de partículas). Cuando toma gradientes o “derivados exteriores” de este objeto, la antisimetría actúa como un método de contabilidad para realizar un seguimiento de la orientación.

Apéndice 2: [matemáticas] d ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

Esto es importante en física porque introduce la noción de invariancia de calibre. Si tiene dos “formas” (que pueden ser potenciales físicos) que difieren en una “forma exacta”, es decir

[matemáticas]
\ omega_1- \ omega_2 = df
[/matemáticas]

entonces estas formas son equivalentes a los indicadores (ya que los observables físicos provienen de la derivada exterior de los potenciales). En relatividad especial o EM, puede haber aprendido que los siguientes potenciales conducen a la misma física

[matemáticas]
\ tilde {A} ^ \ mu = A ^ \ mu + \ partial_ \ mu f
[/matemáticas]

Sorprendentemente, esta invariancia de calibre implica la existencia de fotones como mediadores de interacciones electromagnéticas.