Esta es una pregunta interesante y profunda.
En realidad, hay tres cosas que deben preocuparse:
La lógica como núcleo del lenguaje
Diversos fundamentos posibles de las matemáticas.
Matemática propiamente dicha.
- ¿Cuáles son las aplicaciones del mundo real de las matemáticas?
- Si [matemática] a + b = 1 [/ matemática] y [matemática] ab = 1 [/ matemática], entonces ¿qué hace [matemática] a ^ 3 + a ^ 2 + a + b ^ 3 + b ^ 2 + b [/ matemáticas] igual?
- ¿Cuál es la diferencia entre matemática aplicada y matemática pura?
- ¿Cuál es la lógica detrás del método de convertir decimal a binario?
- ¿Qué hacen los matemáticos a diario?
La respuesta básica es que nadie sabe cuáles son las relaciones entre estas cosas. ¿El lenguaje o los números vienen primero, y luego cuál es la relación entre el núcleo lógico del lenguaje y los fundamentos de las matemáticas, y finalmente cuál es la relación de los fundamentos con todas las formas de las matemáticas que parece expandirse muy rápidamente en los últimos años? siglos pero casi exponencialmente en el siglo pasado.
He escrito bastante sobre esta pregunta en respuesta al Ser y evento de Badiou, donde afirma que la ontología es la teoría de conjuntos. Hay muchos problemas con esta posición, pero algo que nos obliga a hacer es tomar en serio la relación del Ser con la teoría de conjuntos y otros fundamentos de las matemáticas, algo en lo que no estamos obligados. Principalmente esto se debe a que los ontólogos no saben suficientes matemáticas y los matemáticos no piensan en ontología. Pero Badiou se enorgullece de haber aprendido las matemáticas lo suficientemente bien como para filosofar al respecto. Lo maravilloso de eso es que Badiou usa el trabajo de Cohen y lo generaliza para darle una importancia ontológica. Y eso me ayudó porque en ese momento estaba tratando de descubrir cuál sería el siguiente nivel de abstracción más allá de la Teoría de esquemas generales y me preguntaba si necesitaba definir eso para fundamentar la Teoría de esquemas generales. Básicamente, usando el resultado de Cohen en la teoría de Set que dice que hay cierta independencia entre ciertos axiomas y otros, podemos generalizar este método y ver que si algo no importa en el nivel de abstracción lo estás si lo cambias, es decir, si no puede distinguir la diferencia si cambia, entonces no es una restricción trascendental de la que deba preocuparse en ese nivel, y eso nos libera de preocuparnos por los trascendentales de nivel superior si no tienen efectos de nivel inferior si se cambian. Este es un punto excelente. Entonces, si cambiar la estructura de la visión del mundo no cambió nada en el nivel de la Teoría de los esquemas generales, entonces no tuve que preocuparme por fundamentar la Teoría de los esquemas generales en una teoría más alta de la estructura de la visión del mundo. Y decidí que ese era el caso, así que me liberó de mucho trabajo que probablemente hubiera sido innecesario.
Pero lo que ves en Badiou es el enfoque en la teoría de conjuntos como la base de las matemáticas cuando en realidad hay varios contendientes como la teoría de categorías (mi favorito personal) y la mereotopología, etc. Me parece que tenemos que considerar todos los diversos fundamentos posibles de las matemáticas. y su variedad intrínseca y luego generalizar a partir de eso. Badiou escribió un volumen complementario para Ser y Evento que aún no he leído pero aplica la lógica a los mundos. Esto parece inverosímil pero tendremos que esperar para leerlo para criticarlo.
Pero mi opinión es la que he formulado en mi sitio web en General Schemas Theory Research. Logos y Physus son los duales más importantes en la cosmovisión occidental, y Nomos es la interfaz no dual entre ellos. La lógica es el núcleo del lenguaje (el Physus del Logos) y, por lo tanto, podemos ver que la esquematización es el núcleo del Physus (el Logos del Physus como lo que Kant llama una proyección sintética de orden A priori como singular del espacio-tiempo). Por lo tanto, la lógica pertenece al lenguaje (el Logos) y su opuesto es la esquematización que estructura tanto el lenguaje como también nuestra comprensión de la inteligibilidad de las cosas organizadas en el espacio-tiempo. Pero el nomos está separado y ahí es donde están las matemáticas. Y, por cierto, solo las lenguas indoeuropeas tienen ser, por lo que es un caso anómalo especial. Entonces identificarlo con la teoría de conjuntos obviamente es incorrecto. Me parece que las matemáticas son lo primero porque Nomos es lo no dual que existe antes de que Logos y Physus existan y se separen entre sí como una dualidad. Y podemos representar las lógicas como Topoi (la categoría de las lógicas) y eso significa que podemos tener una visión puramente matemática de la estructura de la lógica antes de la existencia de la lógica como núcleo del lenguaje.
Sin embargo, una vez que la lógica existe, juega con los diversos fundamentos posibles de las matemáticas que componen nuestras metamatemáticas. La metamatemática regresa de la lógica hacia las matemáticas y trata de comprender sus fundamentos, por lo que tanto la lógica como las matemáticas nos ayudan a entender al otro. Ambos tienen sentido el uno del otro al proporcionar un contexto diferente en el que el otro puede ser explorado.
Sin embargo, no es que la Lógica y la Phusis provengan de las Matemáticas, sino que están limitadas por las matemáticas. Por ejemplo, en Ciencia buscamos fundamentos matemáticos de nuestras teorías y luego buscamos anomalías que refutan nuestras teorías que están estructuradas en base a las matemáticas. Las teorías que resisten este tipo de prueba tienden a tener una operacionalización muy estrecha a través de su conexión con las matemáticas. Del mismo modo, existen innumerables lógicas, y comprender esas lógicas y sus diferencias nos ayuda a encontrar diferentes formas de interpretar las matemáticas y ver los posibles fundamentos de las matemáticas, y nos ayuda a estructurar nuestras teorías mejor para que sean lógicamente consistentes, completas , claro, verificable, validable y coherente.
Espero que esto ayude a aclarar la elucidación mutua de Matemáticas y Lógica que ocurre en el contexto de la filosofía de la Ciencia y en la búsqueda de la ciencia. Esto es realmente el núcleo de nuestra cosmovisión. Y es algo que realmente necesitamos entender, y aún no entendemos completamente.
