Cualquier número complejo distinto de cero tiene dos raíces cuadradas; [math] – \ sqrt {3} [/ math] no es una excepción.
[matemáticas] z ^ 2 = – \ sqrt {3} [/ matemáticas]
[matemáticas] z = (- \ sqrt {3}) ^ {\ frac 1 2} [/ matemáticas]
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[matemáticas] z = (- 3 ^ {\ frac 1 2}) ^ {\ frac 1 2} = (-1) ^ {\ frac 1 2} 3 ^ {\ frac 1 4} = \ pm i \ sqrt [ 4] {3} [/ matemáticas]
Esta es fácil, pero nunca hay necesidad de un arcotangente al sacar la raíz cuadrada de un número complejo:
Dado un no estándar [matemáticas] \ textrm {sgn} (0) = + 1, [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sqrt {a + bi} = \ pm \ left (\ sqrt {\ dfrac {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} + a} {2}} + i \ textrm {sgn} (b) \ sqrt {\ dfrac {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} -a} {2}} \ \ \ right) [/ math]
Conectemos [math] a = – \ sqrt {3}, b = 0, [/ math] para que [math] \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} = \ sqrt {3} [/ math] y obtengamos
[matemáticas] \ sqrt {- \ sqrt {3}} = \ pm \ left (\ sqrt {\ dfrac {\ sqrt {3} + – \ sqrt {3}} {2}} + i \ sqrt {\ dfrac { \ sqrt {3} – – \ sqrt {3}} {2}} \ \ \ right) = \ pm i \ sqrt [4] {3} [/ math]
Si realmente queremos usar arcotangente, es decir, convertir a coordenadas polares, podemos hacerlo. El OP está bastante lejos de la marca que pasa [math] \ sqrt {3} [/ math] como argumento. Nuestro punto es [matemáticas] – \ sqrt {3} + 0 i [/ matemáticas], por lo que necesitamos la tangente inversa de cuatro cuadrantes [matemáticas] \ textrm {arctan2} \ dfrac {0} {- \ sqrt {3}} [/ math] que da [math] \ pi [/ math]. La forma más fácil de ver eso es simplemente usar la identidad de Euler para convertir un número real negativo en coordenadas polares:
[matemáticas] – \ sqrt {3} = \ sqrt {3} e ^ {i \ pi} [/ matemáticas]
Dado que queremos todas las soluciones, antes de exponer, multiplicamos por [matemáticas] e ^ {2 \ pi ki} = 1 [/ matemáticas] para todos los enteros [matemáticas] k. [/ Matemáticas]
[matemáticas] – \ sqrt {3} = \ sqrt {3} e ^ {i \ pi} e ^ {2 \ pi ki} [/ matemáticas]
Ahora
[matemáticas] z = (- \ sqrt {3}) ^ {\ frac 1 2} = \ sqrt {3} ^ {\ frac 1 2} e ^ {i \ pi / 2} e ^ {i \ pi k} [/matemáticas]
[matemáticas] z = i \ sqrt [4] {3} e ^ {i \ pi k} [/ matemáticas]
[math] e ^ {i \ pi k} [/ math] solo puede tomar dos valores diferentes, dados por dos [math] k [/ math] consecutivos. Después de eso comienzan a repetir. Para [matemática] k = 0 [/ matemática] obtenemos [matemática] e ^ {i \ pi (0)} = 1 [/ matemática] y para [matemática] k = 1 [/ matemática] obtenemos [matemática] e ^ {i \ pi} = -1 [/ math] así que nuevamente obtenemos
[matemáticas] z = \ pm i \ sqrt [4] {3} [/ matemáticas]
