Como el valor de la suma es independiente del orden en que se toma la suma,
[matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ n (-1) ^ kk {n \ elige k} ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ sum_ {k = n} ^ 0 (-1) ^ nk {n \ elige k} ^ 2 [/ matemáticas]
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[matemáticas] = \ sum_ {k = 0} ^ n (-1) ^ k (nk) {n \ elegir k} ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ dfrac {n} {2} \ sum_ {k = 0} ^ n (-1) ^ k {n \ elegir k} ^ 2 [/ matemáticas]
También,
[matemáticas] (1-1) ^ n = \ sum_ {k = 0} ^ n (-1) ^ k {n \ elegir k} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica \ sum_ {k = 0} ^ n (-1) ^ k {n \ elegir k} = 0 [/ matemáticas]
Entonces, ([matemáticas] {n \ elegir 0} – {n \ elegir 1} + \ ldots) ({n \ elegir 0} + {n \ elegir 1} + \ ldots = 0) [/ matemáticas]
Ampliando esto, obtenemos:
[matemáticas] ({n \ elegir 0} – {n \ elegir 1} + \ ldots) ({n \ elegir 0} + {n \ elegir 1} + \ ldots) [/ matemáticas]
[matemáticas] = {n \ elegir 0} ^ 2 – {n \ elegir 2} ^ 2 + {n \ elegir 4} + \ ldots [/ matemáticas]
[matemáticas] + {n \ elige 0} {n \ elige 2} + {n \ elige 0} {n \ elige 4} + \ ldots [/ matemáticas]
[matemáticas] + {n \ elegir 2} {n \ elegir 0} + {n \ elegir 2} {n \ elegir 4} + \ ldots [/ matemáticas]
[matemáticas] \ vdots [/ matemáticas]
Por lo tanto, es suficiente para encontrar el valor de [matemáticas] {n \ elegir 0} ^ 2 – {n \ elegir 2} ^ 2 + {n \ elegir 4} + \ ldots [/ matemáticas]
[matemáticas] + {n \ elige 0} {n \ elige 2} + {n \ elige 0} {n \ elige 4} + \ ldots [/ matemáticas]
[matemáticas] + {n \ elegir 2} {n \ elegir 0} + {n \ elegir 2} {n \ elegir 4} + \ ldots [/ matemáticas]
[matemáticas] \ ldots (1) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ n {n \ elegir k} = 2 ^ n [/ matemáticas], [matemáticas] [/ matemáticas] y [matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ n (-1 ) ^ k {n \ choose k} = 0. [/ math] Sumando ambas ecuaciones, [math] 2 [{n \ choose 0} + {n \ choose 2} + \ ldots] = 2 ^ n [/ matemáticas], es decir, [matemáticas] [{n \ elegir 0} + {n \ elegir 2} + \ ldots] = 2 ^ {n-1} [/ matemáticas]
Cuadra esta ecuación para obtener
[matemáticas] [{n \ elegir 0} ^ 2 + {n \ elegir 2} ^ 2 + {n \ elegir 4} + \ ldots] + {n \ elegir 0} {n \ elegir 2} + {n \ elegir 0} {n \ elige 4} + \ ldots + {n \ elige 2} {n \ elige 0} + {n \ elige 2} {n \ elige 4} + \ ldots = 2 ^ {2 (n-1)} [/matemáticas]
Coloque el valor de [math] [{n \ choose 0} ^ 2 + {n \ choose 2} ^ 2 + {n \ choose 4} + \ ldots] [/ math] en la ecuación anterior para obtener el valor de ( 1)
