¿Es la prueba de Cantor (argumento diagonal) realmente correcta?

¿Es la prueba de diagonalización, y la proposición que dice probar, realmente correcta? Ciertamente. Entonces, ¿por qué tantos buenos estudiantes lo dudan?

La prueba en sí es una de las pruebas más elegantes y simples en matemáticas. Si bien la propuesta que demuestra es avanzada y no intuitiva, los estudiantes de matemáticas de secundaria pueden entender fácilmente la prueba. Pero no se les enseña (porque no es necesario que se les enseñe) los conceptos más formales detrás, por lo que varios conceptos se simplifican a niveles que ya entienden. Desafortunadamente, esta es la versión de la prueba que la mayoría de la gente recuerda.

Los estudiantes curiosos pueden tener problemas con algunas de las simplificaciones. Hay explicaciones satisfactorias para sus problemas, pero en mi opinión lleva más tiempo hacerlo que explicarlo correctamente en primer lugar. Y a menudo no tiene éxito ya que el estudiante ya está convencido de que hay un problema.

1. La proposición es “hay un conjunto infinito que no se puede poner en una correlación uno a uno con los números naturales”. (Esta es mi paráfrasis de lo que dijo Cantor. Lo interpreté de la traducción en el Argumento Diagonal de Cantor. La teoría de conjuntos estaba en su infancia, por lo que su idioma no era exactamente el mismo).
2. Era su segunda prueba de esta proposición. El primero usó los números reales como el conjunto de ejemplos. Explícita e intencionalmente, la diagonalización no lo hizo. Permítanme repetir eso: Cantor no usó el método de diagonalización para demostrar que los números reales eran incontables.

1. Su primera prueba hizo algunas suposiciones cuestionables sobre las propiedades del continuo de números reales. Los contemporáneos de Cantor usaron estos temas para descartar sus ideas. Entonces sintió que necesitaba volver a probarlo sin hacerlos.
2. La prueba de poder que presenta Alan Bustany fue su tercera y más formal.

1. Una cadena es una lista de caracteres.
2. La representación decimal de un número real a la derecha del punto decimal es una cadena. Los estudiantes de secundaria ya deben entender cómo pueden tener una longitud infinita, lo que hace que la prueba sea más fácil de enseñar al usarlos.
3. El número real en sí mismo no es una cadena. Muchos confunden el número con la cadena.

1. Hay un problema con el uso de números reales: las distintas cadenas 0.1000 … y 0.0999 … representan el mismo número real. Este es uno de los problemas que mencioné si la prueba se aplica a números, pero no si se aplica a cadenas.
2. Puede pensar en las cadenas de Cantor como representaciones binarias de números reales, siempre que tenga en cuenta que “1000 …” es una cadena diferente a “0111 …”.

1. No asumió que E incluía todas las cadenas posibles.
2. No es necesario suponer que no se repiten cadenas en la lista, pero parece más simple hacerlo. O incluso para no mencionarlo.
3. Es trivial imaginar una lista de este tipo: por ejemplo, la enésima cadena es todos ceros, excepto un 1 en la posición n.

1. La diagonalización recibe su nombre al tomar el enésimo carácter de la enésima cadena.
2. Invertir cada carácter en diagonal da una cadena que no puede estar en la lista.
3. Escribir el comienzo de la lista puede parecer una buena ilustración, pero eso es todo. Demasiados estudiantes lo ven como el proceso en sí mismo y piensan que las cadenas que faltan deben aparecer eventualmente; en lugar de como una tabla completa con una diagonal completa e infinita donde la cadena construida no puede aparecer en la lista.

1. Cantor nunca dijo que sí, y en realidad no se ajusta a la definición formal de uno. Porque…
2. … la supuesta contradicción se deriva de una declaración menos restrictiva de lo que se supone cuando se tergiversa como prueba de contradicción. Se sigue solo de “puede hacer una lista de algunas de estas cadenas”, no de “puede hacer una lista de todas estas cadenas”.
3. Lo que la mayoría de los estudiantes se sienten incómodos es la paradoja implícita de asumir “todas esas cadenas” y usarlo para mostrar “pero no esta”. Cantor no hizo esto.

1. Entonces, la declaración probada en el # 7 es lógicamente equivalente a “Si el conjunto E contiene todas las cadenas posibles, entonces no puede enumerar todas las cadenas en E “. Esta es la propuesta que Cantor quería probar. Y LO HIZO.
2. Hay otras formas de visualizar el # 7 como una prueba formal, pero ninguna es “por contradicción”.

El argumento diagonal de Cantor es un caso especial del teorema de Cantor más general: la cardinalidad de un conjunto, [matemática] S [/ matemática], es estrictamente menor que la cardinalidad de su conjunto de potencia, [matemática] \ matemática P (S) [ /matemáticas].

La prueba es notablemente simple. Supongamos, por el contrario, que [math] f \ colon S \ to \ mathcal P (S) [/ math] es una función surjective y considere el subconjunto:

[matemáticas] \ quad A = \ {x \ en S \ mid x \ notin f (x) \} \ subset S [/ math]

Aquellos elementos de [math] S [/ math] que no son miembros del subconjunto al que están asignados.

Como [math] f [/ math] es surjective, existe una [math] y \ en S [/ math] tal que [math] f (y) = A [/ math]. Pero por construcción [matemáticas] y \ en A [/ matemáticas] si y solo si [matemáticas] y \ noten A [/ matemáticas]. Esta contradicción implica nuestra suposición de que [math] f [/ math] es surjective es falso. Por lo tanto, [math] | S | <| \ mathcal P (S) | [/ math].

Esta prueba depende de muy poco. Ciertamente, se puede aplicar a representaciones decimales y binarias de números reales para demostrar que hay estrictamente más números reales de los que se pueden enumerar (es decir, poner en correspondencia uno a uno con los números naturales).

En el actual sistema de ciencias relacionadas con el infinito clásico, se ha admitido que el concepto de infinito está compuesto por “potencial infinito” y “infinito real”. Por un lado, nadie es capaz de negar las diferencias cualitativas y los importantes roles que desempeñan “potencial infinito-infinito real” en la base del actual sistema clásico de teoría infinita; por otro lado, nadie puede negar que la teoría de conjuntos clásica actual se basa en conceptos de “potencial infinito-infinito real”, así como en su sistema de teoría del infinito actual clásico relacionado. El hecho es que cualquier área en el sistema de ciencias relacionadas con el infinito clásico actual (por supuesto, incluyendo el análisis matemático clásico actual y la teoría de conjuntos) no puede escapar de la restricción de los conceptos “potencial infinito-infinito real” ——- todos los contenidos en el presente clásico El análisis matemático y la teoría de conjuntos solo pueden existir en las formas de “cosas matemáticas infinitas potenciales” y “cosas matemáticas infinitas reales”. Pero, los estudios de nuestra historia científica relacionada infinita han demostrado que nunca se han dado definiciones claras para estos dos conceptos de “potencial infinito-infinito real” y sus correspondientes “cosas matemáticas infinitas potenciales – cosas matemáticas infinitas reales” desde la antigüedad, por lo tanto naturalmente conducen a los siguientes dos defectos fatales inevitables en la teoría de conjuntos clásica actual:

（1） Es imposible comprender teóricamente cuáles son los conceptos básicos importantes de “potencial infinito” e “infinito real” y sus correspondientes “formas numéricas infinitas potenciales, conjuntos infinitos potenciales” y “formas numéricas infinitas reales, conjuntos infinitos reales” y qué tipo de relación hay entre ellos. Entonces, en muchas “actividades cognitivas cualitativas sobre cosas matemáticas relacionadas infinitas (como todo tipo de conjuntos infinitos, elementos en conjuntos infinitos, números de elementos en conjuntos infinitos)” en la teoría clásica actual de conjuntos, muchas personas ni siquiera saben negar el ser de los conceptos “potencial infinito” e “infinito real”, así como su relación entre “forma de número infinito potencial, conjuntos infinitos potenciales” y “formas de número infinito real, conjuntos infinitos reales” – es imposible comprender clara y científicamente la relación exacta entre los conceptos básicos importantes de “infinito, infinito, infinito muchos, infinitesimales, conjuntos infinitos, elementos en conjuntos infinitos, números de elementos en conjuntos infinitos”, … Entonces, es imposible entender claramente y científicamente todo tipo de conjuntos infinitos diferentes (como la falta del “‘conjunto de espectro’ para las cogniciones cualitativas generales sobre las formas existentes de conjuntos infinitos”) , elementos en un conjunto infinito (como “son los elementos infinitos relacionados con cosas matemáticas infinitas potenciales o cosas matemáticas infinitas reales, ¿cómo existen?”), números de elementos en un conjunto infinito (como “son infinitos o potenciales reales ¿infinito muchos? ”), la“ teoría y operación uno a uno correspondiente ”en conjuntos infinitos (como“ son los elementos infinitos potenciales que corresponden a elementos infinitos potenciales o elementos infinitos reales que corresponden a elementos infinitos reales o elementos infinitos reales que corresponden a ¿elementos infinitos potenciales? ”), … ——– los defectos inevitables de la cognición cualitativa en conjuntos infinitos y sus elementos.

（2） Primero, es imposible entender si los “elementos en un conjunto infinito, el número de elementos en un conjunto infinito y todo tipo de conjuntos infinitos” que se conocen en la teoría de conjuntos clásica actual son “cosas matemáticas infinitas potenciales” o “reales cosas matemáticas infinitas “, si existen diferentes teorías y operaciones para” cosas matemáticas infinitas potenciales o cosas matemáticas infinitas reales “, y es imposible comprender correctamente (científicamente) en la teoría de conjuntos clásica actual la naturaleza de las teorías cognitivas cuantitativas relacionadas infinitas y herramientas (como la teoría de límites y la “teoría de correspondencia uno a uno”) y sus cientificidades operativas ——– es imposible dominar correctamente (científicamente) las competencias y habilidades operativas de la teoría de límites y la ” Teoría correspondiente “, lo que no da como resultado ninguna garantía científica para las operaciones de la teoría de límites y la” relación uno a uno teoría de la búsqueda “; en segundo lugar, es imposible juzgar las cientificidades de muchas actividades cognitivas cuantitativas relacionadas infinitas en la teoría clásica de conjuntos actual, en muchos casos las personas solo pueden repetir cada parte de lo que han hecho otros o hacer lo que uno desea tratar a muchos “no —Conocer— qué ”cosas matemáticas infinitas con la forma unificada de“ línea de flujo ”(cualquier“ conjunto infinito ”,“ elementos de un conjunto infinito ”,“ número de elementos de un conjunto infinito ”puede ser“ potencial infinito ”o“ infinito real “, ni ser” infinito potencial “ni” infinito real “, primero” infinito potencial “, luego” infinito real “, primero” infinito real “y luego” infinito potencial “, ,,,), quienes creían y aceptaban la paradoja de Russell, Hilbert Hotel Paradox, las operaciones de Cantor de “cortar una cosa infinita en pedazos para hacer diferentes números súper infinitos” y “probar la incontables cuentas de números reales establecidos por el método diagonal”, así como la famosa “aplicación La paradoja de Russell para probar el teorema del conjunto de poderes “son ejemplos típicos de operaciones confusas” infinito potencial-infinito real “- los defectos inevitables de la cognición cuantitativa en conjuntos infinitos y sus elementos.

Nuestros estudios demostraron que cualquier cognición cuantitativa de “cosas científicas” en todas las áreas de la ciencia no puede prescindir de los tipos de “portadores científicos”, así como sus teorías y operaciones cognitivas cuantitativas relacionadas. Los defectos fundamentales causados ​​por la ausencia de toda la “teoría de los portadores infinitos” y sus teorías cognitivas cuantitativas relacionadas en el sistema de la teoría infinita clásica actual ejercen malas influencias en la cientificidad de nuestras actividades cognitivas cuantitativas al “conjunto infinito, las formas existentes de elementos en conjunto infinito, números de elementos en conjunto infinito “, … en la teoría clásica actual de conjuntos infinitos, que inevitablemente resulta en no solo la producción y suspensión de todos los giros de familias de paradojas relacionadas infinitas en la teoría clásica actual de conjuntos infinitos desde la antigüedad, sino también creando nuevos miembros de familias de paradojas de vez en cuando, desafiando el ingenio de los humanos e instándonos repetidamente a construir un sistema de fundamento científico (libre de paradojas) para la teoría infinita y la teoría de conjuntos infinitos.

No. El argumento de Cantor es incorrecto:

1. El argumento diagonal se basa en la falsa premisa indirecta de que la cardinalidad de los números naturales es menor que la cardinalidad de los reales.
2. Los matemáticos cantorianos no están dispuestos a responder cuál es la cardinalidad del conjunto de dígitos (quiero decir, el conjunto de posiciones de dígitos, en cualquier base , no los números ) que constituyen los números naturales; o, si lo hacen, fallan lógicamente. Dado que, dado que el conjunto de números naturales es infinito, los matemáticos exigen que la cardinalidad del conjunto de dígitos utilizados para construir los números naturales sea finita, es una imposibilidad lógica.
3. Los matemáticos cantorianos no aceptan una correspondencia unívoca perfectamente construida entre los enteros positivos y los reales, lo que les permitiría concluir que los reales son numerables, como aparece en mi respuesta a la pregunta: la respuesta de Diego Saa a Es el conjunto de números irracionales contenidos entre dos números reales incontables?
4. ¿No se trata de una correspondencia entre números naturales y reales que se supone que prueban la “denumerabilidad”? Lo que los matemáticos argumentan es que algún número irracional determinado debe colocarse al principio de la lista de reales y luego probar la correspondencia. Es cierto que la construcción comienza con los números finitos antes de construir los números más largos. Entonces, lo que deberían probar es que los irracionales no pueden construirse sistemáticamente, agregando un dígito a la vez, sino que deben manejarse, a todos los efectos prácticos, con todo su supuesto número infinito de dígitos a la vez.

Supongamos que la cardinalidad del conjunto de posiciones de dígitos que constituyen los números naturales es [math] \ aleph_0 [/ math], ya que esas posiciones de dígitos se pueden poner en correspondencia uno a uno con los números naturales, como se puede ver en la figura en la respuesta citada anteriormente.

Esto significaría que el conjunto de números naturales es el conjunto de potencia de ese conjunto de posiciones de dígitos y, en consecuencia, que tienen la misma cardinalidad que el conjunto de reales.

La construcción es simétrica, con tantas posiciones de dígitos como sea necesario, en ambas direcciones; pero, de alguna manera, la construcción a la izquierda del punto decimal debe terminar antes que la de la derecha, por alguna razón desconocida que los matemáticos cantorianos mantienen oculta.

Creo que hay un pequeño problema con la prueba de Cantor de que el número real no es “contable” (como lo define Cantor).

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PRUEBA DEL CANTANTE

La prueba se basa en una afirmación de que puede crear un número, digamos x, que no está en ninguna lista dada. x se crea agregando x ‘(valor intermedio para x) un decimal más a medida que se procesa cada número de la lista. Por lo tanto, en el procesamiento del enésimo número, x ‘(n) es el número xen n decimales de modo que

lim x ‘(n) = x como n -> infinito

y

x no está en la lista.

pero puedo mostrar una lista para la cual

x ‘(n) está en la lista

por cada n

Creo que esto es un problema para el reclamo.

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CONTRA RECLAMACIÓN

Definiré una tabla de fracciones infinitas con columnas numeradoras (1, 2, 3 … hasta el infinito) y filas de denominador (1, 2, 3 … hasta el infinito) y alimentaré fracciones de esta tabla en diagonal a la prueba de Cantor. (fila columna)

(1, 1) = 1/1, (2, 1) = 1/2, (1, 2) = 2/1, (3, 1) = 1/3, (2, 2) = 2/2, (1, 3) = 3/1, (4, 1) = 1/4, (3, 2) = 2/3, (2, 3) = 3/2, (1, 4) = 4/1 y pronto.

Para el momento en que alimentaste todas las fracciones contenidas en el triángulo de la esquina de la tabla cuyos lados son las primeras n columnas / filas en la lista, habrá (n ^ 2) / 2 = m fracciones, en este punto el número construido por el Cantor la prueba es x ‘(m) (que no está en la lista construida hasta ahora).

Sin embargo, para cuando todas las fracciones contenidas en el triángulo de la esquina cuyos lados son 2 * 10 ^ m = p columnas / filas se introduzcan en la lista ((p ^ 2) / 2 = q fracciones), se encontrará x ‘(m) en la nueva lista, pero por supuesto para entonces x ‘(m) se cambia a x’ (q) (que no está en la nueva lista). (Todos los números con n lugares decimales se encuentran en el cuadrado de la esquina cuyos lados son las primeras 10 ^ n columnas / filas de la tabla, se necesita duplicar debido al triángulo).

Sin embargo, para cuando todas las fracciones contenidas en el triángulo de la esquina cuyos lados son 2 * 10 ^ q = r columnas / filas se introduzcan en la lista ((r ^ 2) / 2 = s fracciones), x ‘(q) volverá a ser encontrado en la nueva lista, pero por supuesto para entonces x ‘(q) se cambia a x’ (s) (que no está en la nueva lista).

.

.

.

y así

así que está claro que por cada n

OK, ¿me estoy perdiendo algo aquí?

Entonces, si está satisfecho con el hecho de que x ‘(n) siempre está en la lista, pero de repente cuando n alcanza el infinito, no está en la lista, entonces la prueba funciona para usted.

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MIS 2 CENTOS

Mi instinto es que el conjunto de reales es el conjunto de fracciones -> no “infinito mayor”.

Si. Muestra que los números reales son incontables. Esto significa que no hay biyección entre los números naturales y los números reales. Esto también demuestra que hay diferentes tipos de infinitos.

La prueba es fácil de entender. Cuales son tus dudas

La computadora dice que sí.

Lo siento. Aquí hay una prueba verificable por máquina para Coq:

Lema cantor X: para f: X -> (X -> Prop), existe S: X -> Prop, para x, S <> f x.

Prueba.
introducciones X f.
(* diagonalizar *)
existe (diversión y => ~ fyy).
introducciones x SisFx.
(* SisFx esencialmente nos dice que fxx = ~ fxx, de lo cual derivaremos una contradicción. *)

(* primer show ~ fxx *)
afirmar (nfxx: ~ fxx).
introducciones fxx.
afirmar (fxx ‘: fxx) por auto.
(* ahora tenemos fxx dos veces, pero sabemos que fxx = ~ fxx *)
reescribir <- SisFx en fxx '.
(* tenemos fxx y ~ fxx, lo cual es una contradicción *)
contradicción.

(* con ~ fxx, podemos derivar una contradicción si podemos mostrar fxx *)
aplicar nfxx.
(* pero como fxx = ~ fxx, podemos mostrar fx x. QED. *)
reescribir <- SisFx; auto.
Qed

Si, sin duda.