El complejo Morse viene dado por un múltiple liso compacto [matemático] M [/ matemático] y una función Morse [matemático] f: M \ to \ mathbb {R} [/ matemático].
Funciones Morse
Un punto crítico de [matemáticas] f [/ matemáticas] es un lugar donde la derivada es cero.
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Decimos que un punto crítico [math] x [/ math] no está degenerado cuando el Hessian (la matriz de derivadas parciales de segundo orden de [math] f [/ math]) no es singular.
Un ejemplo de un punto crítico degenerado sería un punto de inflexión de una función [math] g: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} [/ math] ya que la segunda derivada es cero allí. Esto podría verse así:
tomado del artículo Wolfram-Alpha Punto de inflexión.
Si el Hessian es singular, tiene un espacio nulo no trivial, por lo que el Hessian no da una descripción completa de lo que le está sucediendo a la función en el punto.
Si todos los puntos críticos de [math] f [/ math] no están degenerados, lo llamamos una función Morse, a veces también requerimos que los valores que toma la función en los puntos críticos sean todos distintos.
Ahora se pueden clasificar los puntos críticos: tome la matriz de Hesse y diagonalícela (¿por qué es diagonalizable?). Ahora cuente la cantidad de valores propios negativos a lo largo de la diagonal, a esto le llamamos el índice del punto crítico (puede demostrar que esto no depende de su parametrización).
Este es el número de direcciones en las que el punto crítico parece un máximo. Por ejemplo, si tenemos una variedad bidimensional, entonces un punto crítico del índice 2 es un máximo, del índice 1 es un punto de apoyo y del índice 0 es un mínimo. El ejemplo clásico de esto es medir la altura de un punto de un toro de pie, aquí hay una imagen tomada del artículo de Wikipedia sobre la teoría Morse: 
Observe el mínimo en la parte inferior, el máximo en la parte superior y los dos puntos de silla en la parte superior e inferior del círculo interior.
Ahora que sabemos qué es una función Morse, podemos decir qué es un complejo Morse.
Complejo Morse
La idea de un complejo Morse debería serle familiar si ha visto retratos de ecuaciones diferenciales en el plano de fase. En cada punto del múltiple, hay una dirección de ascenso más pronunciada dada por el gradiente (para un múltiple euclidiano, esto puede generalizarse usando una métrica de Riemann). Por lo tanto, piense en todos los puntos en la variedad que fluyen en la dirección que apunta el gradiente.
Entonces podemos descomponer la variedad en líneas integrales que son trayectorias o soluciones a la ecuación diferencial, y sabemos por la teoría de ecuaciones diferenciales que existen y que nunca se cruzan (excepto en los puntos críticos).
Como la función siempre aumenta a lo largo del flujo, siempre llegamos al máximo. Simétricamente, si fluye hacia atrás, siempre llegará al mínimo. Entonces, para cualquier punto, podemos definir su destino y su origen .
Dadas estas ideas, para cada punto crítico [matemáticas] u [/ matemáticas] podemos definir la variedad estable en [matemáticas] u [/ matemáticas], que es [matemáticas] u [/ matemáticas] junto con todos los puntos cuya línea integral tiene destino [math] u [/ math]. La variedad estable de un punto crítico de índice [matemáticas] q [/ matemáticas] será una variedad dimensional [matemáticas] q [/ matemáticas].
También podemos hacer lo simétrico y definir la variedad inestable de un punto crítico.
La idea del complejo Morse es descomponer la variedad utilizando estas variedades estables e inestables. Para hacer esto, necesitamos una condición técnica de que la función sea una función Morse-Smale, pero no quiero entrar en esto.
Para cada par de puntos críticos, podemos observar las líneas integrales que fluyen de una a la otra. Los componentes de estas líneas integrales son las células de nuestro complejo. La dimensión de una celda es la diferencia en el índice entre los puntos críticos.
Las celdas 1 o bordes serán líneas integrales aisladas que fluyen entre puntos críticos con índices diferentes por 1. En un múltiple de 2, fluirá de un mínimo a una silla de montar, y de una silla de montar al máximo.
Las celdas 0 o vértices serán simplemente los puntos críticos en sí mismos.
Las 2 celdas en un múltiple de 2 serán el flujo de un mínimo a un máximo.
Esta imagen del artículo de Wikipedia en http://en.wikipedia.org/wiki/Mor… ilustra el complejo con la función de altura de un toro inclinado:
Las líneas moradas son las celdas 1. Tenga en cuenta que el toro está inclinado, esto es para evitar el flujo de la silla de montar (la condición de Smale a la que aludí).
¡Uf!
