El término “algebraicamente cerrado” se aplica a los campos, y los cuaterniones no son un campo. La razón por la que normalmente no hablamos de cosas algebraicamente cerradas que no son conmutativas es que no está claro qué debería significar “polinomio”.
“Algebraicamente cerrado” significa que cualquier polinomio no constante en una variable, como [matemática] 2X ^ 7-5X + 4 [/ matemática], tiene una raíz. Ahora, sobre los cuaterniones, primero tenemos que decidir: ¿qué es exactamente un polinomio?
Como la multiplicación ya no es conmutativa, podemos ver expresiones como [math] iX-Xi [/ math], por ejemplo, o incluso
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[matemáticas] jX ^ 2kX (3-j) X + (1-i) X ^ 2-X ^ 2 (1 + i) [/ matemáticas]
y así. ¿Se deben tomar como polinomios? Una interpretación bastante razonable diría “Sí”, pero luego la respuesta a la pregunta de cierre algebraico es “No”.
Este es el por qué. Mira el polinomio
[matemáticas] g (X) = iX + Xi [/ matemáticas]
El truco aquí es que [math] i [/ math] anti-conmuta con [math] j [/ math] y [math] k [/ math], y por lo tanto la expresión [math] iX + Xi [/ math] es cero cuando [matemática] X [/ matemática] es [matemática] j [/ matemática] o [matemática] k [/ matemática]. Por otro lado, cuando [matemática] X [/ matemática] es [matemática] 1 [/ matemática] o [matemática] i [/ matemática], la expresión involucra solo reales y [matemática] i [/ matemática] s. En otras palabras, para cualquier cuaternión [matemática] q [/ matemática],
[matemáticas] g (q) = a + bi [/ matemáticas]
donde [matemáticas] a, b [/ matemáticas] son números reales. Ahora toma el polinomio
[matemáticas] f (X) = iX + Xi-j [/ matemáticas]
De ello se deduce que [math] f (q) [/ math] nunca es cero, por lo que [math] f [/ math] no tiene raíces.
Sin embargo, es posible restringir el significado de “polinomio” de modo que cualquier polinomio cuaternión tenga una raíz, según esta interpretación. Por ejemplo, solo podemos permitir cosas como [math] \ sum_ {i = 0} ^ n q_iX ^ i [/ math] donde [math] q_i [/ math] son quariones. En otras palabras, los coeficientes ahora solo se pueden colocar a la izquierda de la variable.
Tales “polinomios restringidos” siempre tienen una raíz de cuaternión, por razones de naturaleza topológica (al igual que en el teorema fundamental del álgebra). Hay una buena descripción de la prueba aquí.
Debido a esta ambigüedad, evitaría usar el término “algebraicamente cerrado” en referencia a los cuaterniones.
