No queda claro a partir de la pregunta si está pidiendo el truco matemático detrás de la transformación de Fourier o la motivación física para ello, supongo que es la última y baso mi respuesta en ella.
Para comprender la idea detrás de la transformación de Fourier, uno necesita comprender la idea detrás de la serie de Fourier y los sistemas LTI.
Las funciones exponenciales son funciones propias para sistemas LTI (ecuaciones de coeff constantes), lo que significa que si pasa una función exponencial a través de un sistema LTI, la salida será una versión escalada de la entrada
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La serie de Fourier intenta descomponer una señal como la suma de sinusoides que a su vez puede expresarse como la suma de señales exponenciales complejas. Por lo tanto, una transformación de la serie de Fourier puede verse como un cambio de base. Podemos estudiar el sistema / predecir la salida estudiando los componentes individuales que hacen la señal y cómo responde el sistema a ese componente en particular y superponer el resultado.
La transformación de Fourier solo extiende la transformación de la serie de Fourier a señales aperiódicas al suponer que la señal tiene un período T -> infinito, pero el propósito es el mismo que el anterior. En lugar de tener múltiplos de una frecuencia fundamental, tiene todos los componentes de frecuencia.