¿Cuál es la idea básica detrás de las transformadas de Fourier?

No queda claro a partir de la pregunta si está pidiendo el truco matemático detrás de la transformación de Fourier o la motivación física para ello, supongo que es la última y baso mi respuesta en ella.

Para comprender la idea detrás de la transformación de Fourier, uno necesita comprender la idea detrás de la serie de Fourier y los sistemas LTI.

Las funciones exponenciales son funciones propias para sistemas LTI (ecuaciones de coeff constantes), lo que significa que si pasa una función exponencial a través de un sistema LTI, la salida será una versión escalada de la entrada

La serie de Fourier intenta descomponer una señal como la suma de sinusoides que a su vez puede expresarse como la suma de señales exponenciales complejas. Por lo tanto, una transformación de la serie de Fourier puede verse como un cambio de base. Podemos estudiar el sistema / predecir la salida estudiando los componentes individuales que hacen la señal y cómo responde el sistema a ese componente en particular y superponer el resultado.

La transformación de Fourier solo extiende la transformación de la serie de Fourier a señales aperiódicas al suponer que la señal tiene un período T -> infinito, pero el propósito es el mismo que el anterior. En lugar de tener múltiplos de una frecuencia fundamental, tiene todos los componentes de frecuencia.

Es solo para la representación de datos de una manera diferente. Muchas veces, la representación dada por la transformada de Fourier es útil para analizar la señal de una manera mejor y más fácil y procesarla según nuestras necesidades.

Un ejemplo simple es el procesamiento de señales de audio. A algunas personas les gusta escuchar los graves de una manera mejorada. ¿Cómo lo hacemos?

El bajo de una señal de audio generalmente se encuentra en bajas frecuencias. Entonces, tomamos la transformada de Fourier de la señal, mejoramos las bajas frecuencias y luego convertimos la señal nuevamente al dominio del tiempo. Entonces, obtienes una señal de audio en la que se mejoran los graves.

Este es solo un ejemplo que cualquier cuerpo puede entender. Existen innumerables aplicaciones de la Transformada de Fourier.

¿idea básica? ¿Debo decirte el más básico? no es más que un cambio de vector de base para ver la señal de manera diferente.

Este es el método (vista) más fácil para obtener la idea de cualquier señal en términos de espacio vectorial. podemos definir bien cualquier espacio, definir los vectores base y ver la señal de esos.

cómo vemos generalmente x (t) es como una combinación lineal de impulsos desplazados. entonces, en ese caso, [math] \ delta (t-to) [/ math] se convierte en sus vectores base. por transformada de Fourier, que no es más que una transformación lineal, solo cambia los vectores de base de los impulsos desplazados a exp (jwt).

siempre puede verificar el álgebra lineal por gilbert strang para conocer los espacios vectoriales y las matrices.

Espero que hayas recibido tu respuesta.

gracias.