Al preguntar algo como “por qué” en matemáticas, debe aceptar respuestas breves muy poco satisfactorias o respuestas muy largas.
La respuesta corta es porque esa es la definición del producto cruzado (en conjuntos) y es una herramienta útil que surge con la suficiente frecuencia como para merecer un nombre. La respuesta larga espera sugerir por qué es útil y aparece con frecuencia.
Para comprender la larga respuesta, tenemos que profundizar en el fascinante mundo de la teoría de categorías. Esta es una rama de las matemáticas que enfatiza el estudio, no los objetos en sí, sino las relaciones entre los objetos. Entonces, en la teoría de conjuntos nos preocupamos por los conjuntos. En Category Theory nos preocupamos por las funciones entre conjuntos.
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En particular, imagine que tiene frente a usted cada conjunto posible, cada uno representado como un punto. En conjunto, esta es una gloriosa constelación de puntos. Agregamos una colección de “flechas”, una para cada función posible.
Para ser claros, se trata de muchas flechas. De un conjunto de N elementos a un conjunto de M elementos hay M ^ N flechas. Nuestra constelación se parece mucho más a un nido de cables de ratas. Pero este lugar complejo es el dominio de la teoría de la categoría. Lo que nos gustaría hacer es peinar las flechas y, como siempre, encontrar patrones.
Un patrón particularmente interesante que podemos detectar es que hay algunos objetos (de nuevo, conjuntos) que tienen esta propiedad interesante:
Un conjunto, S, se llama “inicial” si para cualquier otro conjunto X hay una flecha única de S a X.
Estos llamados conjuntos iniciales , en cierto sentido, se sientan en el “frente” de nuestra bola de alambre. Basándonos únicamente en el tipo de flechas que poseen, podemos señalarlas y hablar sobre ellas. Además, resulta que hay exactamente uno de estos objetos y corresponde al conjunto vacío.
¡Esto es genial! Y todo el punto de la teoría de la categoría. Hemos notado que los patrones de las flechas reflejan una propiedad interesante de los objetos. Además, tenemos una forma muy general de encontrar estos objetos interesantes buscando propiedades como “inicialidad”. En general, propiedades como esta se conocen como propiedades universales que sugieren su, bueno, universalidad.
Aquí hay otro ejemplo de calentamiento. Busquemos la propiedad interesante opuesta:
Un conjunto, X, se llama “final” si para cualquier otro conjunto S hay una flecha única de S a X.
Esta propiedad parece similar a la inicialidad, pero, como su nombre lo indica, ahora estamos buscando conjuntos que están en la “parte posterior” de la bola de alambre. Si buscamos un momento, los encontraremos: son todos los conjuntos de singleton, conjuntos con exactamente un elemento. Hay un número infinito de estos singletons, por supuesto, pero también notaremos que, por finalidad, cada par de singletons, digamos A y B, tienen exactamente dos funciones entre ellos, uno de A a B y otro de B a A. Esto termina siendo algo que llamamos un isomorfismo que puede considerarse como un “contrato” teórico de categoría en el que A y B deben ser tratados de la misma manera.
Dado que todos los objetos finales tienen isomorfismos entre ellos, nos gusta decir que los objetos finales en conjunto son “únicos hasta el isomorfismo” e incluso nos gustaría hablar sobre el objeto final. En realidad, solo significa lo que dijimos anteriormente: todos son isomórficos entre sí.
Bien, entonces hemos hablado de inicialidad y finalidad como estas propiedades universales que nos permiten definir de manera única los objetos iniciales y finales en nuestra perspectiva Teórica de categoría en conjuntos.
Dado que todo mi objetivo era hablar sobre el producto cruzado … Espero que estés saltando para adivinar que quizás el producto cruzado se pueda encontrar a través de alguna otra propiedad universal de Categoría Teórica. Y este es de hecho el caso.
Para cualquiera de los dos objetos A y B consideramos el conjunto de todos los objetos C de manera que haya dos flechas, llámelas ca y cb , yendo de C a A y de C a B respectivamente. Si lo imagina, forma una pequeña forma de “V” con C en el vértice y flechas que fluyen “hacia afuera”.
Nos gustaría buscar todas esas C en nuestro nido de ratas. Puede haber muchos de ellos, pero podemos ver cada uno como “similar a un producto” debido a esas funciones ca y cb que extraen lo que podríamos llamar el “primer” componente y el “segundo” componente. Esto se parece un poco al producto cruzado ahora donde podemos ver que cada par en la cruz tiene dos lados.
Finalmente, nos gustaría “resumir” de alguna manera todas estas C utilizando una propiedad universal. Elegiremos este:
Para los objetos A y B dados, un objeto C, junto con los mapas ca y cb de C a A y de C a B respectivamente, se llama el “producto de A y B” si, dado cualquier otro objeto D que también tiene mapas da y db hay una flecha única de D a C.
En el sentido de que el objeto final era el “último” objeto en todo el nido de ratas, podríamos decir que el producto de A y B es el “último” objeto en la parte del nido de ratas que “parece parejas de A y B “. Si eso tiene sentido.
Y, por último, si averigua lo que todas estas propiedades deben significar para los conjuntos, resulta que el “producto de A y B” de la categoría teórica es solo una cruz B. El “por qué” de su uso surge de la categoría extremadamente general Mecanismo teórico del que surge.
Como nota final, puede preguntarse qué nos compra esta generalidad. Resulta que la teoría de la categoría podría desarrollarse en conjuntos y funciones entre ellos como lo hicimos aquí, pero también podría desarrollarse en todo tipo de otros objetos. Fuera de mi cabeza: grupos, anillos, números naturales, pedidos anticipados de cualquier tipo, álgebras booleanas, autómatas de estados finitos, gramáticas, “rutas operativas” en el lenguaje de Transformaciones operacionales, relaciones generales, espacios vectoriales, etc., etc.
En cada caso, el “nido de ratas” se llama Categoría y podemos construir Categorías de innumerables variedades.
Y en cada uno podemos preguntar, primero, “¿existe un producto?” entonces “¿cuándo existe?” y finalmente “¿qué es?” En cada caso, encontraremos un objeto de la categoría que se comporta como una “combinación” adecuada de otros dos objetos y seguirá una intuición no muy diferente del producto cruzado de conjuntos.
