Aquí hay una forma (Cardano):
[matemáticas] x ^ 3-x ^ 2-2 = 0 [/ matemáticas]
Para deshacerse de los términos al cuadrado, sustituya otra variable menos un tercio del coeficiente de segundo grado: [matemática] x = y + \ frac {1} {3} [/ matemática]
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[matemáticas] y ^ 3- \ frac {1} {3} y – \ frac {56} {27} = 0 [/ matemáticas]
Sustituir [matemáticas] y = u + v [/ matemáticas]
[matemáticas] u ^ 3 + v ^ 3 + (3uv – \ frac {1} {3}) (u + v) – \ frac {56} {27} = 0 [/ matemáticas]
Suponga que [matemáticas] (3uv – \ frac {1} {3}) = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] u ^ 3 + v ^ 3 – \ frac {56} {27} = 0 [/ matemáticas]
Usando el supuesto nuevamente, sustituya [math] \ frac {1} {9v} [/ math] por [math] u [/ math]:
[matemáticas] \ frac {1} {729 v ^ 3} + v ^ 3 – \ frac {56} {27} = 0 [/ matemáticas]
Multiplicar por [matemáticas] v ^ 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] (v ^ 3) ^ 2 – \ frac {56} {27} v ^ 3 + \ frac {1} {729} = 0 [/ matemáticas]
Use la fórmula cuadrática para resolver [math] v ^ 3 [/ math]
[matemáticas] v ^ 3 = \ Bigg (\ frac {56} {27} \ pm \ sqrt {\ bigg (\ frac {56} {27} \ bigg) ^ 2 – 4 \ frac {1} {729}} \ Bigg) \ bigg / 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] v = \ frac {1} {3} \ sqrt [3] {28 \ pm 3 \ sqrt {87}} [/ matemáticas]
Si utiliza el signo más para [matemáticas] v [/ matemáticas], entonces [matemáticas] u [/ matemáticas] tiene el signo menos. Esto significa
[matemáticas] x = \ frac {1} {3} \ Bigg (1 + \ sqrt [3] {28 – 3 \ sqrt {87}} + \ sqrt [3] {28 + 3 \ sqrt {87}} \ Bigg) [/ matemáticas]
Esa es la verdadera raíz. Puedes usarlo para encontrar las dos raíces complejas.
ETA: Vaya, parece que cambié el 1 a un 2. ¡El método aún funcionaría!
