Todo homomorfismo de campos es inyectivo (ejercicio: demuéstralo si no sabes por qué). Como [math] K [/ math] es finito, esto implica que el mapa también es sobreyectivo. Entonces, solo necesitamos mostrar que este mapa (que se llama homomorfismo de Frobenius , por cierto) es un homomorfismo.
Envía [math] 1 \ mapsto 1 [/ math] y [math] 0 \ mapsto 0 [/ math]. Cheque.
Ciertamente es multiplicativo: [matemáticas] (xy) ^ p = x ^ py ^ p [/ matemáticas]. Cheque.
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La parte divertida es mostrar que el mapa es aditivo. Hasta ahora, no hemos utilizado el hecho de que estamos elevando [math] x [/ math] a la característica del campo. Esa es nuestra pista: por la fórmula binomial,
[matemáticas] \ displaystyle (x + y) ^ p = \ sum_ {i = 0} ^ p \ binom {p} {i} x ^ iy ^ {pi} = x ^ p + y ^ p + \ sum_ {i = 1} ^ {p-1} \ binom {p} {i} x ^ iy ^ {pi}. [/ Math]
Por lo tanto, es suficiente mostrar que el número entero [math] \ binom {p} {i} [/ math] es divisible por [math] p [/ math] para [math] 0 <i <p [/ math] (y es por lo tanto igual a [matemáticas] 0 [/ matemáticas] en [matemáticas] K [/ matemáticas]). ¡Es un ejercicio divertido que te dejo!
