Reclamación: La función compleja [matemática] f (z) = \ frac {1} {2i} \ left (e ^ {iz} – e ^ {- iz} \ right) [/ math] satisface [math] f (x ) = \ sin (x) [/ math] para todos [math] x \ in \ mathbb {R} [/ math].
Prueba: Tenga en cuenta que [math] f (z) [/ math] es completo (es decir, holomórfico en todos [math] \ mathbb {C} [/ math]) porque [math] z \ mapsto e ^ z [/ math ] es. El radio de convergencia de su serie de Taylor en [math] z = 0 [/ math] es infinito, por lo que podemos calcular el valor de [math] f (z) [/ math] en cualquier punto simplemente sumando la serie de Taylor. Para [math] x \ in \ mathbb {R} [/ math], calculamos:
[matemáticas] e ^ {ix} = 1 + (ix) + \ frac {1} {2!} (ix) ^ 2 + \ frac {1} {3!} (ix) ^ 3 + \ ldots [/ math ]
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[matemáticas] \ phantom {abc} \ qquad \ qquad = \ left (1 – \ frac {1} {2!} x ^ 2 + \ frac {1} {4!} x ^ 4 + \ ldots \ right) + i \ left (x – \ frac {1} {3!} x ^ 3 + \ frac {1} {5!} x ^ 5 + \ ldots \ right) [/ math]
[matemática] \ fantasma {abc} \ qquad \ qquad = \ cos (x) + i \ sin (x) [/ matemática].
Este resultado se llama fórmula de Euler. Resulta que
[matemáticas] e ^ {ix} – e ^ {- ix} = \ left (\ cos (x) + i \ sin (x) \ right) – \ left (\ cos (-x) + i \ sin (- x) \ right) = 2i \ sin (x) [/ math].
La reivindicación 1 sigue. (fin de la prueba) (*)
El hecho más interesante es que la expresión [matemáticas] g (z) = \ frac {1} {2i} \ left (e ^ {iz} – e ^ {- iz} \ right) [/ math] puede servir como definición de [math] \ sin (z) [/ math] para [math] z \ in \ mathbb {C} [/ math]. Esto se deduce inmediatamente de la unicidad de la continuación analítica: dado que [math] g (z) [/ math] es una función completa que concuerda con [math] \ sin (x) [/ math] para [math] x \ in \ mathbb {R} [/ math], es la única continuación.
(*) Deseo que Quora permita el formato de entorno de prueba con un símbolo de fin de prueba justificado a la derecha.
