Razón 1: Álgebra
[matemáticas] x = 2 \ cos (36) = 2 \ cos (\ frac {90–36 / 2} {2}) = 2 \ sqrt {\ frac {1+ \ cos (90–36 / 2)} { 2}} [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 2 = 2 (1+ \ sin (36/2)) = 2 (1+ \ sqrt {\ frac {1- \ cos (36)} {2}}) [/ matemáticas]
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[matemáticas] \ frac {x ^ 2} {2} -1 = \ sqrt {\ frac {1- \ frac {x} {2}} {2}} = \ sqrt {\ frac {1} {2} – \ frac {x} {4}} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {x ^ 4} {4} -x ^ 2 + 1 = \ frac {1} {2} – \ frac {x} {4} [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 4–4x ^ 2 + x + 2 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] (x-2) (x-1) (x ^ 2-x-1) = 0 [/ matemáticas]
Por lo tanto, las soluciones candidatas son 2, 1 y [matemáticas] \ phi [/ matemáticas] y su conjugado (ya que el factor cuadrático es el polinomio mínimo con [matemáticas] \ phi [/ matemáticas] y su conjugado como raíces).
Pero podemos rechazar 1, 2 y la raíz negativa como extrañas ya que es claro que [math] 2 \ cos (60) <2 \ cos (36) <2 \ cos (0) [/ math] lo que implica que el la respuesta correcta es entre 1 y 2, por lo que el valor debe ser [math] \ phi [/ math]
Razón 2: Geometría
Se debe a la forma en que se forma un pentágono regular dentro de un pentagrama (cuyos ángulos interiores son 36 grados), y la forma en que los lados del pentagrama se cortan entre sí en la misma proporción que las longitudes de los lados. La prueba está aquí:
Coseno de 36 grados
