Cómo evaluar limit [math] \ lim \ limits_ {n \ to + \ infty} \ sin \ left (\ pi \ sqrt {n ^ 2 + 1} \ right) [/ math]

Por lo general, cuando tiene que evaluar una función seno o una función coseno, tiene que haber algo que elimine su periodicidad y transforme la función trigonométrica para que sea de forma indefinida.

Por ejemplo, el más simple de todos sería el siguiente.
[matemáticas] \ lim _ {x \ rightarrow \ infty} \ frac {sin (x)} {x} \\ \\ -1 \ leq sin (x) \ leq 1 \\ \\ – \ frac {1} { x} \ leq \ frac {sin (x)} {x} \ leq \ frac {1} {x} \\ \\ \ lim _ {x \ rightarrow \ infty} – \ frac {1} {x} \ leq \ lim _ {x \ rightarrow \ infty} \ frac {sin (x)} {x} \ leq \ lim _ {x \ rightarrow \ infty} \ frac {1} {x} \\ \\ -0 \ leq \ lim _ {x \ rightarrow \ infty} \ frac {sin (x)} {x} \ leq 0 \\ \\ \ lim _ {x \ rightarrow \ infty} \ frac {sin (x)} {x} = 0 [/matemáticas]

Sin embargo, en su pregunta, la fórmula no tiene ninguna parte que agregue esta calidad. Por lo tanto, la función seno modificada permanece periódica, lo que conduce a la divergencia al tomar el límite.

También puede verificar que la función oscile a medida que n aumenta (y tomar el límite de la derecha no mejora la situación, mientras que a veces esto puede funcionar como un factor atenuante que permite que la función converja cuando realmente diverge sin la derecha) opción de mano).

Agrego el gráfico de su función y también el script R simple que produce esto.

myFun <- function (x) sin (pi * sqrt (x ^ 2 + 1))
curva (myFun, de = -10, a = 10, xlab = expresión (x), ylab = expresión (sin (pi * sqrt (x ^ 2 + 1))))

Lakshya Jain explica por qué obtenemos cero, ya que n tiende al infinito a través de los números enteros, y Daeyoung Lim explica por qué el límite no existe si n viaja a través de los números reales. Aquí hay una foto para mostrar la diferencia. Soy parcial en que la respuesta sea 0 porque “n” generalmente representa un número entero.

Editar: Suponiendo que [math] n [/ math] es real.
Darse cuenta de
[matemática] \ lim \ limits_ {n \ to + \ infty} \ sqrt {n ^ 2 + 1} = \ infty [/ math].
Y luego nota que
[math] \ lim \ limits_ {n \ to + \ infty} \ sin (n) = \ text {undefined} [/ math], porque la función seno oscila entre -1 y 1 y, por lo tanto, no se acerca a un solo valor.
Así
[matemáticas] \ lim \ limits_ {n \ to + \ infty} \ sin (\ pi \ sqrt {n ^ 2 + 1}) = \ text {undefined} [/ math]

Edición 2:
Como se supone que la respuesta debe considerar entero [matemáticas] n [/ matemáticas], aquí está mi segunda solución:

[matemáticas] \ lim \ limits_ {n \ to + \ infty} \ sin (\ pi \ sqrt {n ^ 2 + 1}) [/ matemáticas]
[matemática] = \ lim \ limits_ {n \ to + \ infty} \ sin (\ pi \ sqrt {1+ \ frac {1} {n ^ 2}} * n) [/ math]
Como [math] \ lim \ limits_ {n \ to + \ infty} \ sqrt {1+ \ frac {1} {n ^ 2}} = 1 [/ math] se deduce que
[math] = \ lim \ limits_ {n \ to + \ infty} \ sin (\ pi * 1 * n) = 0 [/ math].

Puedo ver una posibilidad de confusión aquí. Hay una diferencia entre el límite de una serie infinita y el límite de una función. Tienen definiciones similares, pero aún diferentes.
En ambos casos, lo primero que debe hacer con este tipo de problemas es verificar primero si existe un límite. Solo entonces puede comenzar a calcularlo utilizando diferentes métodos.
Como sugiere la respuesta de Daeyoung Lim, el límite anterior no existe si estamos hablando de la función [math] \ sin (π \ sqrt {n ^ 2 + 1}) [/ math]. Es simplemente porque no satisface la definición de límite común (ε, δ).
Por otro lado, si estamos hablando de la serie infinita, donde n solo toma valores que son enteros, entonces tenemos otra respuesta. En ese caso, el límite realmente existe, y es igual a 0 (ver la respuesta de Lakshya Jain para una prueba rigurosa). Es 0 básicamente porque la expresión [math] \ sqrt {n ^ 2 + 1} [/ math] se acerca cada vez más a n, ya que tiende al infinito, y dado que [math] \ sin (kπ) [/ math] es cero por cada entero k la serie converge a 0.

Como nota al margen: hay alguna conexión entre el límite de la serie y el límite de la función. De hecho, esta función no tiene un límite porque puede tener otra serie cuyos elementos se toman de la misma función (y se mantienen en orden) pero convergen a un valor diferente. Digamos que si tomara esos valores (no necesariamente enteros) de n que resultaron en [matemáticas] \ sqrt {n ^ 2 + 1} = 2k + 0.5 [/ matemáticas] obtendría un límite de [matemáticas] \ sin (π / 2) = √2 / 2 [/ matemáticas].