Use la regla de L’Hopital cuando tenga una forma indeterminada cuando use la sustitución directa, como [math] \ dfrac {0} {0} [/ math] o [math] \ dfrac {\ infty} {\ infty} [/ matemáticas].
La regla de L’Hopital establece que si usara la sustitución directa en la función racional, y terminara con una forma indeterminada, como [math] \ dfrac {\ infty} {\ infty} [/ math] o [math ] \ dfrac {0} {0} [/ math], entonces …
[matemáticas] \ begin {align *} \ displaystyle \ lim_ {x \ to a} \ dfrac {f (x)} {g (x)} = \ displaystyle \ lim_ {x \ to a} \ dfrac {f ′ ( x)} {g ′ (x)} \ end {align *} \ tag * {} [/ math]
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Por ejemplo, considere el siguiente límite.
[matemáticas] \ begin {align *} \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} \ dfrac {4x ^ 2 – 5x} {1 – 3x ^ 2} \ end {align *} \ tag * {} [/ math ]
La sustitución directa producirá [math] \ dfrac {\ infty} {- \ infty} [/ math], por lo tanto, podemos aplicar la Regla de L’Hopital, aquí.
Primero, definamos nuestras funciones y sus derivados.
[matemáticas] \ begin {align *} f (x) = 4x ^ 2 – 5x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f ‘(x) = 8x – 5 \ end {align *} \ tag * {} [/ math]
[matemáticas] \ begin {align *} g (x) = 1 – 3x ^ 2 \ qquad \ Rightarrow \ qquad g ‘(x) = -6x \ end {align *} \ tag * {} [/ math]
[matemáticas] \ begin {align *} \ por lo tanto \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} \ dfrac {8x – 5} {- 6x} = \ dfrac {\ infty} {- \ infty} \ end {align * } \ tag * {} [/ math]
¿Ves que tenemos el mismo resultado? Esto sucederá mucho al usar la regla de L’Hopital. Si esto sucede, todo lo que tiene que hacer es tomar una segunda derivada.
[matemáticas] \ begin {align *} \ dfrac {d} {dx} (8x – 5) = 8 \ end {align *} \ tag * {} [/ math]
[matemáticas] \ begin {align *} \ dfrac {d} {dx} (- 6x) = -6 \ end {align *} \ tag * {} [/ math]
[matemáticas] \ begin {align *} \ por lo tanto \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} \ dfrac {\ frac {d} {dx} (8x – 5)} {\ frac {d} {dx} (- 6x)} \ qquad \ Rightarrow \ qquad \ dfrac {4} {- 3} \ end {align *} \ tag * {} [/ math]
[matemáticas] \ begin {align *} \ bbox [# 00FF00, 5px] {\ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} \ dfrac {4x ^ 2 – 5x} {1 – 3x ^ 2} = – \ dfrac { 4} {3}} \ end {align *} \ tag * {} [/ math]
