Si bien estoy seguro de que la afirmación es cierta, no tengo pruebas de ello en este momento, aunque sería bastante fácil encontrar una para una pequeña [matemática] a [/ matemática] dada.
Tengo una prueba de ello en algunos casos.
Primero, suponga que hay un primo [matemático] p [/ matemático] que divide [matemático] (a-1) [/ matemático] pero no divide [matemático] b [/ matemático]. Entonces sabemos que dentro de cualquier paso [matemático] p [/ matemático], la secuencia se restablece a algo como máximo tan grande como la raíz cuadrada del entero anterior. De hecho, si no hay restablecimiento (es decir, todos los términos son primos), el resto [math] \ mod p [/ math] aumenta en una constante distinta de cero y llegará a cero.
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Dado que el término aumenta en un factor como máximo [matemática] (a + b) [/ matemática] cada vez, si alguna vez está en [matemática] x_n> (a + b) ^ {2p} [/ matemática], el número después del reinicio será menor que [math] x_n [/ math]. Entonces obtendrá números que son menores que [math] (a + b) ^ {2p + 1} [/ math] infinitamente muchas veces. Esto lleva a una repetición, y luego a la periodicidad.
Un argumento más sofisticado pero similar funciona siempre que exista una [matemática] p> b [/ matemática] principal para la cual [matemática] a [/ matemática] es una raíz primitiva. Entonces se puede demostrar que nuevamente es imposible tener [matemáticas] p [/ matemáticas] primos consecutivos en la secuencia. Creo que es cierto que para cualquier [matemática] a [/ matemática] hay números primos arbitrariamente grandes para los cuales [matemática] a [/ matemática] es una raíz primitiva, pero no sé si hay una prueba de eso .
