Se puede usar para dar una prueba de una oración de que [math] \ mathbb {R} [/ math] es incontable:
El singleton [math] \ {x \} [/ math] es un subconjunto de [math] \ mathbb {R} [/ math] denso en ninguna parte para cualquier número real [math] x [/ math] y [math] \ mathbb {R} [/ math] está completo y no está vacío, por lo que la unión de todos los números reales singleton debe ser una unión incontable, ya que es igual a [math] \ mathbb {R} [/ math].
Desafortunadamente, esto me dio cero puntos en un problema de examen de análisis de calidad real al pedir una prueba de la incontabilidad de [math] \ mathbb {R} [/ math], porque se suponía que solo debía usar los resultados del primer trimestre de los tres secuencia del curso de un cuarto de largo, y el teorema de la categoría Baire viene en el segundo trimestre. Creo que nunca dejaré de sentir amargura por eso, aunque haya aprobado el examen.
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