¿Cómo se calcula el volumen de una esfera dimensional [matemática] n [/ matemática]?

Sé un truco para esto:

Esto se basa en conocer [matemáticas] \ sqrt {\ pi} = \ int _ {\ mathbb {R}} e ^ {- x ^ {2}} dx [/ matemáticas].

Vamos a cambiar las variables en la fórmula para [math] \ pi ^ {n / 2} [/ math] para resolver la constante de volumen [math] S ^ {n-1} [/ math] de la n- Esfera unitaria dimensional. Hacemos esto mediante la integración sobre “conchas esféricas”.

[matemáticas] \ pi ^ {n / 2} = \ Pi_ {j = 1} ^ {n} \ int _ {\ mathbb {R}} e ^ {- x_ {j} ^ {2}} dx_ {j} [ /matemáticas]

[math] = \ int _ {\ mathbb {R}}… \ int _ {\ mathbb {R}} e ^ {- x_ {1} ^ {2} -… -x_ {n} ^ {2}} dx_ {1 } … dx_ {n} [/ math].

Ahora reconocemos esto como la integral de la función radial en [math] \ mathbb {R} ^ {n} [/ math] por lo que las coordenadas esféricas nos dejarán con una sola integral y el factor que estamos buscando:

[matemáticas] S ^ {n-1} \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- r ^ {2}} r ^ {n-1} dr [/ matemáticas] [matemáticas] = S ^ {n -1} / 2 \ veces \ int_ {0} ^ {\ infty} t ^ {n / 2-1} e ^ {- t} dt = \ Gamma (n / 2) S ^ {n-1} / 2 [/matemáticas].

Hemos resuelto para

[matemáticas] S ^ {n-1} = 2 \ pi ^ {n / 2} / \ Gamma (n / 2) [/ matemáticas].

La función Gamma tiene propiedades de recurrencia simples que la hacen fácilmente solucionable para valores integrales y semi-integrales.

Me di cuenta por primera vez de esta pregunta un par de años antes de saber algo sobre el cálculo. Volumen de una esfera 3 ???

Finalmente, aprendí a hacer los cálculos, pero hasta ahora no había visto la derivación de David. ¡Agradable!

Lo que tengo que ofrecer aquí es que hay una relación de recurrencia que descubrí después de muchas horas tontas desperdiciadas en esto.

Comience a escribir las fórmulas para V_n y S_n. Hay una relación muy simple entre los coeficientes, las potencias de pi y r. Y sí, los poderes extraños son un poco irritantes.

Una pulgada circular es el área de un círculo de pulgadas (es decir, pulgadas de diámetro). El volumen de una esfera es una pulgada esférica, y así sucesivamente. Es uno de los tres productos coherentes.

Si lo quieres en medida cúbica, sigue ese enfoque del profesor Joyce y multiplica el valor por n para obtener la superficie de la pelota.

En resumen [matemáticas] \ pi ^ {n / 2} / \ frac {n-2} {2}! [/ Matemáticas]