La función exponencial [matemáticas] f (x) = e ^ x [/ matemáticas] puede expandirse como:
[matemáticas] f (x) = e ^ x = \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ dfrac {x ^ n} {n!} [/ math]
[matemáticas] = 1 + x + \ dfrac {x ^ 2} {2!} + \ dfrac {x ^ 3} {3!} + \ dfrac {x ^ 4} {4!} + \ cdots [/ math]
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[[matemáticas] \ color {rojo} {1} [/ matemáticas]; de aquí]
Ahora, reemplazando [math] x [/ math] por un número complejo general [math] z [/ math] en [math] \ color {red} {1} [/ math], obtenemos:
[matemáticas] f (z) = e ^ z = \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ dfrac {z ^ n} {n!} [/ matemáticas]
[matemáticas] = 1 + z + \ dfrac {z ^ 2} {2!} + \ dfrac {z ^ 3} {3!} + \ dfrac {z ^ 4} {4!} + \ cdots [/ math]
[[matemáticas] \ color {rojo} {2} [/ matemáticas]; de aquí]
En este punto, consideremos [math] z = ix [/ math], un número puramente imaginario. Reemplazando [math] z [/ math] con este valor en [math] \ color {red} {2} [/ math] obtenemos:
[matemáticas] e ^ z = e ^ {ix} [/ matemáticas]
[matemáticas] = 1 + ix + \ dfrac {(ix) ^ 2} {2!} + \ dfrac {(ix) ^ 3} {3!} + \ dfrac {(ix) ^ 4} {4!} + \ dfrac {(ix) ^ 5} {5!} + \ dfrac {(ix) ^ 6} {6!} + \ dfrac {(ix) ^ 7} {7!} + \ dfrac {(ix) ^ 8 } {8!} + \ Cdots [/ math]
[matemáticas] = 1 + ix – \ dfrac {x ^ 2} {2!} – i \ dfrac {x ^ 3} {3!} + \ dfrac {x ^ 4} {4!} + i \ dfrac {x ^ 5} {5!} – \ dfrac {x ^ 6} {6!} – i \ dfrac {x ^ 7} {7!} + \ Dfrac {x ^ 8} {8!} + \ Cdots [/ math ]
Reorganizando los términos de la siguiente manera:
[matemáticas] = \ Big \ {1 – \ dfrac {x ^ 2} {2!} + \ dfrac {x ^ 4} {4!} – \ dfrac {x ^ 6} {6!} + \ dfrac {x ^ 8} {8!} – \ cdots \ Big \} + i \ Big \ {x – \ dfrac {x ^ 3} {3!} + \ Dfrac {x ^ 5} {5!} – \ dfrac {x ^ 7} {7!} + \ Cdots \ Big \} [/ math]
[[matemáticas] \ color {rojo} {3} [/ matemáticas]]
Ahora, a partir de aquí, se puede ver que las expansiones de la serie Taylor de las funciones trigonométricas seno y coseno se pueden escribir como:
[matemáticas] sin (x) = x – \ dfrac {x ^ 3} {3!} + \ dfrac {x ^ 5} {5!} – \ dfrac {x ^ 7} {7!} + \ cdots [/ matemáticas], [matemáticas] \ forall x [/ matemáticas]
[[matemáticas] \ color {rojo} {4 ′} [/ matemáticas]]
[matemáticas] cos (x) = 1 – \ dfrac {x ^ 2} {2!} + \ dfrac {x ^ 4} {4!} – \ dfrac {x ^ 6} {6!} + \ dfrac {x ^ 8} {8!} – \ cdots [/ math], [math] \ forall x [/ math]
[[matemáticas] \ color {rojo} {4 ′ ′} [/ matemáticas]]
Tomando como referencia las expansiones presentadas en [math] \ color {red} {4 ′} [/ math] y [math] \ color {red} {4 ′ ′} [/ math], podemos reescribir [math] \ color {rojo} {3} [/ matemáticas] como:
[matemáticas] e ^ {ix} = cos (x) + isin (x) [/ matemáticas]
[[matemáticas] \ color {rojo} {5} [/ matemáticas]]
El resto es bastante sencillo en realidad. Reemplazando [math] x [/ math] por [math] \ pi [/ math] en [math] \ color {red} {5} [/ math], obtenemos:
[matemáticas] e ^ {i \ pi} = cos (\ pi) + isin (\ pi) [/ matemáticas]
[math] \ Rightarrow e ^ {i \ pi} = -1 + i \ cdot 0 [/ math]
[matemática] \ {[/ matemática] como [matemática] cos (\ pi) = -1 [/ matemática] y [matemática] sin (\ pi) = 0 \} [/ matemática]
[math] \ Rightarrow e ^ {i \ pi} + 1 = 0 [/ math]
, que concluye la prueba de la identidad que comenzamos a analizar.
Espero que haya ayudado.