Cómo evaluar [math] \ displaystyle \ int \ dfrac {\ mathrm {d} x} {x ^ 2 (x ^ 4 + 1) ^ {\ frac34}} [/ math]

Supongo que ya respondí esta pregunta hace unas semanas: la respuesta de Aadit Kr a ¿Cómo integro [matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {dx} {x ^ 2 (x ^ 4 + 1) ^ {\ frac {3} {4}}} [/ matemáticas]?

Sin embargo, aquí va de nuevo …

Deje [math] \ displaystyle I = \ int \ frac {dx} {x ^ 2 (x ^ 4 + 1) ^ {\ frac {3} {4}}} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica I = \ int \ frac {dx} {x ^ 2x ^ 3 (1+ \ frac {1} {x ^ 4}) ^ {\ frac {3} {4}}} [/ matemáticas]

Sustituyendo [matemática] \ displaystyle 1 + x ^ {- 4} = t \ implica \ frac {-4} {x ^ 5} dx = dt [/ matemática]

Tenemos,

[matemáticas] I = \ displaystyle \ frac {-1} {4} \ int \ frac {dt} {t ^ {\ frac {3} {4}}} = \ frac {-1} {4} \ frac { t ^ {\ frac {1} {4}}} {1/4} + C [/ matemáticas]

[matemáticas] I = \ displaystyle – \ left (1+ \ frac {1} {x ^ 4} \ right) ^ {\ frac {1} {4}} + C [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ boxed {I = – \ frac {(1 + x ^ 4) ^ {\ frac {1} {4}}} {x} + C} [/ math]

Sin embargo, integrando [math] \ displaystyle \ int \ frac {dx} {x ^ 2 (x ^ 4 + 1) ^ {\ color \ red {\ frac {3} {2}}}} [/ math] (observe el cambio de poder) es un desastre, ya que no se puede expresar en funciones elementales. Seguiría el enfoque de Sid y lo expresaría como una función HG.

En conclusión, no juegues con poderes, pueden llevarte de la sustitución básica a las funciones HG 😛

Espero no haber perdido ninguna sustitución fácil o algo así, pero parece que esta integral puede no tener ninguna forma “agradable”. entonces tenemos

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {x ^ 2 (1 + x ^ 4) ^ {3/2}} \, dx \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int x ^ {- 8} \ left (1+ \ dfrac {1} {x ^ 4} \ right) ^ {- 3/2} \, dx \ tag * {} [/ matemáticas]

Ahora expandiéndose binomialmente

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int x ^ {- 8} \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ binom {-3/2} {k} \ left (\ frac {1} {x ^ 4} \ right) ^ k \, dx \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] I = \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} (1) ^ k \ binom {-3/2} {k} \ int x ^ {- 8-4k} \, dx \ tag *{}[/matemáticas]

[matemáticas] I = \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} (1) ^ k \ binom {-3/2} {k} \ frac {x ^ {- 7-4k}} {- 7 -4k} \ tag * {} [/ math]

así que finalmente tendremos algo en términos de series hipergeométricas

[matemáticas] \ boxed {I = – \ dfrac {_2F_1 \ left (\ dfrac {7} {4}, \ \ dfrac {3} {2}; \ \ dfrac {11} {4}; \ \ dfrac {1 } {x ^ 4} \ right)} {7x ^ 7}} \ tag * {} [/ math]

también podemos representar estas funciones de HG en términos de integrales elípticas como este -Computational Knowledge Engine

Nota: Espero que no haya cometido ningún error al escribir la pregunta porque la integral habría sido mucho más simple si el poder fuera [matemáticas] \ frac {3} {4} [/ matemáticas] en lugar de [matemáticas] \ frac {3} {2} [/ matemáticas]

Deje que [matemáticas] I = \ int \ frac {dx} {x ^ 2 (x ^ 4 + 1) ^ {\ frac {3} {4}}} [/ matemáticas]…. (1)

Ahora, pon [matemáticas] x ^ 2 = tanz [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow 2xdx = sec ^ 2zdz [/ math]

[math] \ Rightarrow dx = \ frac {sec ^ 2zdz} {2 \ sqrt {tanz}} [/ math]

Entonces (1) cambia a …

[matemáticas] I = \ int \ frac {sec ^ 2zdz} {2tanz. \ sqrt {tanz} (sec ^ 2z) ^ {\ frac {3} {4}}} [/ math]

[math] = \ int \ frac {seczdz} {2.tanz. \ sqrt {secx.tanz}} [/ math]

[matemáticas] = \ int \ frac {coszdz} {sin ^ {\ frac {3} {2}} z} [/ matemáticas] …… (2)

De nuevo, tomamos …

[matemática] sinx = p \ Rightarrow coszdz = dp [/ matemática]

Luego (2) cambie a …

[matemáticas] I = \ int \ frac {dp} {p ^ {\ frac {3} {2}}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {1} {2} \ frac {1} {- \ frac {1} {2}} p ^ {\ frac {-1} {2}} [/ matemáticas] + C

[matemáticas] = – p ^ {- \ frac {1} {2}} [/ matemáticas] + C

[matemáticas] = – pecado ^ {- \ frac {1} {2}} z [/ matemáticas] + C

[matemáticas] = – pecado ^ {- \ frac {1} {2}} [tan ^ {- 1} (x ^ 2)] + C [/ matemáticas]

[matemáticas] = – \ frac {(1 + x ^ 4) ^ {\ frac {1} {4}}} {x} + C [/ matemáticas]

Donde ‘C’ son constantes arbitrarias.

Sustituir [matemáticas] x = \ dfrac {1} {t} [/ matemáticas]

Es solo un tiro en la oscuridad. [matemáticas] dx = \ dfrac {-1} {t ^ 2} dt [/ matemáticas]

[matemática] \ displaystyle I = \ int – \ dfrac {t ^ 3dt} {(t ^ 4 + 1) ^ {\ frac {3} {4}}} [/ matemática] Ahora sustituya [matemática] t ^ 4 + 1 = u ^ 4; 4 t ^ 3 dt = 4 u ^ 3 du [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle I = \ int \ dfrac {-u ^ 3 du} {(u ^ 4) ^ {\ frac {3} {4}}} = \ int -du = -u + C = – (t ^ 4 + 1) ^ {\ frac {1} {4}} + C = – \ left (\ left [\ dfrac {1} {x} \ right] ^ 4 + 1 \ right) ^ {\ frac {1 } {4}} + C [/ matemáticas]

[math] = \ boxed {- \ dfrac {(x ^ 4 + 1) ^ {\ frac {1} {4}}} {x} + C} [/ math]