¿Cuál es la prueba de 0 ^ 0 que es indeterminado?

¿Qué quieres decir con una prueba?

Si ambos [math] 0 [/ math] son ​​constantes [math] 0 [/ math], no hay una forma razonable de definir el valor de la expresión. No es nada significativo o interesante. No puedes crear algo que no tenga sentido y tratar de hacerlo significativo.

¿Qué tal si te pregunto qué es [matemáticas] a ^ a [/ matemáticas], pero no sé qué es [matemáticas] a [/ matemáticas] en absoluto. O, ¿qué es [matemáticas] \ frac {1} {0} [/ matemáticas]? La respuesta para el último es que no hay una forma razonable de definirlo con un significado significativo, a menos que haya encontrado una manera. Si encuentra la manera de hacerlo, debe decirme qué es eso.

Esta es una pregunta tonta, tengo que decir. Si ninguno de estos dos ceros es constante [matemática] 0 [/ matemática], entonces la pregunta debe hacerse de otra manera.

[math] 0 ^ 0 [/ math] se puede demostrar que es indeterminado en [math] \ mathbb {N} [/ math] si se considera que la exponenciación es una multiplicación repetida, es decir, si tenemos:

[matemáticas] x ^ 2 = x \ cdot x [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 3 = x \ cdot x \ cdot x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ vdots [/ matemáticas]

Entonces [math] x ^ n [/ math] se puede demostrar que se determina de manera única para todos [math] x, n [/ math] en [math] \ mathbb {N}, [/ math] excepto [math] x = n = 0 [/ math], en cuyo caso cualquier valor para [math] 0 ^ 0 [/ math] satisfará estas condiciones.

Vea mi respuesta anterior en: La respuesta de Dan Christensen a ¿Por qué un número elevado al poder cero es igual a uno?

Hasta cierto punto, se podría decir que el hecho de que no haya una prueba o una forma formal de asignar un valor particular a [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas] es la razón por la cual es indeterminado en primer lugar.

Si toma la función [matemáticas] 0 ^ x [/ matemáticas] y toma el límite donde x se acerca a 0, entonces vemos que:

[matemáticas] 0 ^ 0 = 0 [/ matemáticas]

Sin embargo, si también toma la función [matemáticas] x ^ 0 [/ matemáticas] y toma el límite donde x se acerca a 0, entonces vemos eso.

[matemáticas] 0 ^ 0 = 1 [/ matemáticas]

Como 0 y 1 no son el mismo número, pero la función es claramente el mismo exponente, [math] 0 ^ 0 [/ math] no puede tener un valor entero y, por lo tanto, es indeterminado.

Para más información, sigue aquí.

Tome el límite cuando x va a cero de x ^ 0, que es 1
Tome el límite cuando x va a cero de 0 ^ x, que es 0
Puede crear límites más difíciles que “deberían ser” 0 ^ 0, pero solo encontrar dos que estén en desacuerdo (y los anteriores son ciertamente los casos más simples de 0 ^ 0) es suficiente para mostrar que 0 ^ 0 no puede definirse sin ambigüedades en un manera que es bicontinua.