La suma de los primeros términos [matemáticos] m [/ matemáticos] de una serie aritmética es [matemática] n [/ matemática] y la suma de los primeros términos [matemáticos] n [/ matemáticos] es [matemática] m [/ matemática ] ¿Cuál es la suma de los primeros términos [matemáticos] m + n [/ matemáticos]?

Produciré una solución que no trate con progresiones aritméticas.

La forma de suma AP es cuadrática con un término constante 0. Entonces, considere

[matemática] f (x) = ax ^ 2 + bx [/ matemática] e insiste en que [matemática] f (m) = n [/ matemática] y [matemática] f (n) = m [/ matemática].

Escribiendo los que podemos mirar [math] f (m) = a {m ^ 2} + bm = n [/ math] y [math] f (n) = a {n ^ 2} + bn = m [/ math ]

Restando, recolectando términos y factorizando,

[matemática] m = n [/ matemática] o [matemática] am + an + b = – 1 [/ matemática] que debe escribirse [matemática] m + n = \ dfrac {{- 1 – b}} {a} [/matemáticas].

El primero conduce a un número infinito de soluciones. Este último se dirige hacia

[matemáticas] f (m + n) = a {(m + n) ^ 2} + b (m + n) [/ matemáticas]

[matemáticas] = a {\ left ({\ dfrac {{b + 1}} {a}} \ right) ^ 2} – b \ dfrac {{b + 1}} {a} [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {{{b ^ 2} + 2b + 1}} {a} – \ dfrac {{{b ^ 2} + b}} {a} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {{b + 1}} {a} [/ matemáticas]

[matemáticas] = – m – n [/ matemáticas]

a = primer término de la serie

d = diferencia común

Sm = m / 2 [2a + (m − 1) d] = n

Sn = n / 2 [2a + (n − 1) d] = m

Al restar dos ecuaciones anteriores, obtenemos

d = -2 (m + n) / mn

Al poner el valor de d en cualquiera de las ecuaciones anteriores y resolver. Obtenemos el valor de un

a = (n / m) + (m-1) (m + n) / mn

Ahora

[matemáticas] Sm + n = [/ matemáticas] (m + n) / 2 [2a + (m + n − 1) d]

poniendo valor de a y d en ella obtenemos nuestro resultado

Sm + n = – (m + n).

Dado el primer término [matemática] u_1 [/ matemática] y la diferencia común [matemática] d, [/ matemática]

[matemáticas] S_m = \ frac {m} {2} [2u_1 + (m-1) d] = n [/ matemáticas]

[matemáticas] S_n = \ frac {n} {2} [2u_1 + (n-1) d] = m [/ matemáticas]

[matemáticas] S_ {m + n} = [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {m + n} {2} [2u_1 + (m + n-1) d] [/ matemáticas]

[matemática] S_ {m + n} = [/ matemática] [matemática] \ frac {m} {2} [2u_1 + (m + n-1) d] + [/ matemática] [matemática] \ frac {n} { 2} [2u_1 + (m + n-1) d] [/ matemáticas]

[matemáticas] S_ {m + n} = [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {1} {2} [2mu_1 + m ^ 2d + mnd-md + [/ matemáticas] [matemáticas] 2nu_1 + mnd + n ^ 2- nd] [/ matemáticas]

[matemática] S_ {m + n} = [/ matemática] [matemática] \ frac {1} {2} [2mu_1 + m ^ 2d-md + [/ matemática] [matemática] 2nu_1 [/ matemática] [matemática] + n ^ 2º [/ matemáticas] [matemáticas] + mnd [/ matemáticas] [matemáticas] + mnd [/ matemáticas] [matemáticas]] [/ matemáticas]

[matemática] S_ {m + n} = [/ matemática] [matemática] \ frac {1} {2} [2mu_1 + m ^ 2d-md] + [/ matemática] [matemática] \ frac {1} {2} [[/ math] [math] 2nu_1 [/ math] [math] + n ^ 2-nd] + [/ math] [math] \ frac {1} {2} [[/ math] [math] mnd [/ matemáticas] [matemáticas] + mnd [/ matemáticas] [matemáticas]] [/ matemáticas]

[matemática] S_ {m + n} = [/ matemática] [matemática] \ frac {m} {2} [2u_1 + md-d] + [/ matemática] [matemática] \ frac {n} {2} [[ / matemática] [matemática] 2u_1 [/ matemática] [matemática] + nd] + [/ matemática] [matemática] \ frac {1} {2} [2 [/ matemática] [matemática] mnd [/ matemática] [matemática] ][/matemáticas]

[matemática] S_ {m + n} = [/ matemática] [matemática] n [/ matemática] [matemática] + m [/ matemática] [matemática] + [/ matemática] [matemática] mnd [/ matemática]

Para una respuesta exclusivamente en términos de [matemáticas] n [/ matemáticas] y [matemáticas] m [/ matemáticas], se puede mostrar (como se indica en la respuesta de Devansh Sehta) que para tales series,

[matemáticas] d = \ frac {-2 (m + n)} {mn}, [/ matemáticas]

y por lo tanto

[matemática] S_ {m + n} = [/ matemática] [matemática] n [/ matemática] [matemática] + m [/ matemática] [matemática] + [/ matemática] [matemática] mn [/ matemática] [matemática] \ frac {-2 (m + n)} {mn} [/ matemáticas]

[matemática] S_ {m + n} = [/ matemática] [matemática] n [/ matemática] [matemática] + m [/ matemática] [matemática] + [/ matemática] [matemática] -2m-2n [/ matemática]

[matemáticas] S_ {m + n} = [/ matemáticas] [matemáticas] -mn [/ matemáticas]

[matemáticas] S_ {m + n} = [/ matemáticas] [matemáticas] – (m + n) [/ matemáticas]

Sea S ( m ) = la suma de los primeros m términos de la serie.

Sabemos que si S ( m ) = n , entonces S ( n ) = m.

Por sustitución obtenemos:

S ( S ( n )) = n, y S ( S ( m )) = m.

Esto significa que

[1] S ( S ( m + n )) = m + n.

Lo sabemos si S ( p ) = q, entonces S ( q ) = p.

Definir p = m + n. Entonces, q = S ( m + n ).

Además, S ( S ( q )) = q y S ( S ( p )) = p

Sustituye q , obtenemos: S ( p ) = S ( S ( S ( p ))) .

Como p = m + n , obtenemos:

[2] S ( m + n ) = S ( S ( S ( m + n ))).

Como S ( m ) = n y S ( n ) = m , entonces de [1] arriba obtenemos:

S ( S ( m + n )) = S ( m ) + S ( n )

Sustituya en [2], obtenemos:

[3] S ( m + n ) = S ( S ( m ) + S ( n ))

QED

Por lo tanto, para calcular la suma de los primeros términos m + n , hacemos lo siguiente:

1. Calcule la suma de los primeros m términos, S ( m ).
2. Calcule la suma de los primeros n términos, S ( n ).
3. Agregue estos dos números, llámelo z .
4. Calcule la suma de los primeros términos z . Esta es la suma de los primeros términos m + n .

Ejemplo:

Considere la serie: 2, -1, 3, -1, 3, -1, 3, …

Deje n = m + 1.

Entonces puede verificar fácilmente que S ( m ) = n = m + 1, y que S ( n ) = S ( m + 1) = m . Por ejemplo,

S (1) = 2 y S (2) = 1; S (3) = 4 y S (4) = 3, etc.

También puede verificar que S ( m ) + S ( n ) = m + n. Por ejemplo:

S (1) + S (2) = m + n = 3.

También podemos verificar que S ( S ( m ) + S ( n )) = S ( m + n ). Por ejemplo,

S ( S (1) + S (2)) = S (1 + 2) = S (3) = 4.

Bueno.

Una progresión aritmética (AP) o secuencia aritmética es una secuencia de números de tal manera que la diferencia entre los términos consecutivos es constante. Una serie aritmética es la suma de la secuencia de tipos anterior.

Denote el término inicial de esta serie por [math] a [/ math] y la diferencia común de dos términos sucesivos por [math] d [/ math]. Entonces, de las condiciones en los problemas que obtenemos

[matemáticas] ma + m (m -1) / 2 = n [/ matemáticas],

[matemáticas] na + n (n -1) / 2 = m [/ matemáticas].

Podemos resolver este sistema de ecuaciones cuadráticas para descubrir los valores de [math] a [/ math]

y [matemáticas] d [/ matemáticas]

basado en los valores fijos de [math] m [/ math] y [math] n [/ math]. Después de eso, encontramos el valor de

[matemática] (m + n) a + (m + n) (m + n-1) / 2 [/ matemática] como la respuesta a la pregunta formulada anteriormente.

Los detalles restantes los dejo a algunos lectores.

Deje que el primer término sea ay la diferencia común sea d

Ahora resuelva (1) y (2) simultáneamente para d

Ahora sustituya el valor de (4) en (3)

Esta solución es más bien como un hombre de las cavernas. ¿Alguien puede ver si hay un enfoque lógico para llegar a la respuesta?

Bueno, esta pregunta será así

La suma de los primeros n términos de un AP viene dada por la fórmula

[matemáticas] Sn = n / 2 [2a + (n – 1) d] [/ matemáticas]

Entonces según la pregunta

[matemáticas] Sm = n [/ matemáticas] (la suma del primer término m es n)

por lo tanto

[matemáticas] n = m / 2 [2a + (m-1) d] [/ matemáticas]

= [matemáticas] 2n = m (2a + md – d) [/ matemáticas]

= [matemáticas] 2n = 2am + m ^ 2d – dm [/ matemáticas] (1)

También,

[matemáticas] Sn = m [/ matemáticas] (la suma de los primeros n términos es m)

por lo tanto

[matemáticas] m = n / 2 [2a + (n – 1) d] [/ matemáticas]

= [matemáticas] 2m = 2an + n ^ 2d – nd [/ matemáticas] (2)

Restando (1) y (2)

[matemática] 2m = 2an + n ^ 2d – nd [/ matemática]

[matemáticas] 2n = 2am + m ^ 2d – md [/ matemáticas]

Al restar estos dos obtendremos

[matemáticas] 2 (mn) = 2a (nm) + d (n ^ 2 – m ^ 2) -d (n – m) [/ matemáticas]

= [matemáticas] -2 (nm) = 2a (n – m) + d (n – m) (n + m) -d (n – m) [/ matemáticas]

= [matemática] [- 2 (nm)] / (nm) = 2a + d (n + m) – d [/ matemática] (TOMANDO (NM) COMÚN DE RHS)

= [matemáticas] -2 = 2a + d (n + m – 1) [/ matemáticas] (3)

Ahora,

[matemáticas] S (m + n) = (m + n) / 2 [2a + (m + n – 1) d] [/ matemáticas]

De la ecuación 3, obtendremos

[matemáticas] S (m + n) = (m + n) / 2 * -2 [/ matemáticas]

[matemáticas] S (m + n) = – (m + n) [/ matemáticas]

Si aún tiene dudas, no dude en preguntarme

Gracias

Suponga que el primer término de la secuencia es a y la diferencia entre dos términos consecutivos es d.

n = S (m) = a + a + d + a + 2d +…. + a + (m-1) d = am + d (m-1) m / 2 = am + d (m ^ 2-m) / 2

m = S (n) = a + a + d + a + 2d +…. + a + (n-1) d = an + d (n-1) n / 2 = an + d (n ^ 2-n) / 2

S (m + n) = a + a + d + a + 2d +…. + A + (m + n-1) d = a (m + n) + d (m + n-1) (m + n) / 2 = am + an + d (m ^ 2 + n ^ 2 + 2mn-mn) / 2

= am + d (m ^ 2-m) / 2 + an + d (n ^ 2-n) / 2 + d (2mn) / 2 = n + m + mnd

Ahora resuelve para d:

n = am + d (m ^ 2-m) / 2. am = nd (m ^ 2-m) / 2. a = n / m – d (m-1) / 2

m = an + d (n ^ 2-n) / 2. an = md (n ^ 2-n) / 2. a = m / n – d (n-1) / 2

Establezca las a iguales entre sí. n / m – d (m-1) / 2 = m / n – d (n-1) / 2.

n / m – m / n = (d (n-1) -d (m-1)) / 2

(n ^ 2-m ^ 2) / (mn) = d (nm) / 2 = -d (nm) / 2. Por lo tanto, d = -2 (n ^ 2-m ^ 2) / ((nm) (mn)) = -2 (m + n) / (mn)

mnd = -2 (m + n) / (mn) * mn = -2 (m + n)

S (m + n) = m + n + mnd = m + n-2 (m + n) = – (m + n)

La suma de los primeros m términos de un AP = n

=> Sm = m / 2 {2a + (m-1) d} = n

=> 2am + m (m-1) d = 2n ………. (1)

& Sn = n / 2 {2a + (n-1) d} = m

=> 2an + n (n-1) d = 2m ……… .. (2)

Eq (1) – eq (2)

=> 2am – 2an + m (m-1) d – n (n-1) d = 2n-2m

=> 2a (mn) + d {m (m-1) – n (n-1)} = 2 (nm)

=> 2a (mn) + d {m² – m – n² + n} = 2 (nm)

=> 2a (mn) + d {(m² – n²) – (mn)} = – 2 (m- n)

=> 2a (mn) + d {(mn) (m + n -1)} = -2 (mn)

Ahora, dividiendo ambas dides por (mn)

=> 2a + d (m + n-1) = -2 ●●●●●●●● (1)

Ahora, la suma de los términos (m + n) =

S (m + n) = (m + n) / 2 {2a + (m + n-1) d}

Al poner el valor de eq (1)

=> S (m + n) = {(m + n) / 2} * (-2)

=> S (m + n) = – (m + n)

Por lo tanto, la suma de los términos (m + n) = – (m + n)

Mientras que las otras respuestas son en su mayoría correctas, que la suma de los primeros términos [matemática] m + n [/ matemática] es [matemática] – (m + n) [/ matemática], esto pierde el caso de que [matemática] m = n [/ math], que no está cubierto porque estas soluciones se dividen por [math] mn [/ math] de una forma u otra. No hay una solución única para este caso.

Un ejemplo simple es [matemática] m = n = 1 [/ matemática]. En este caso, sabemos que el primer elemento es 1, y se nos pide que encontremos la suma de los dos primeros elementos. De hecho, podemos generalizar esto para ver que cualquier valor es posible para los primeros términos [math] m + n = 2n [/ math] cuando [math] m = n [/ math]. Tome una serie [math] f_x = a + bx [/ math] de modo que la suma de los primeros elementos [math] n [/ math] sea [math] n [/ math]. La suma de los primeros elementos [math] k [/ math] es [math] ka + bk (k-1) / 2 [/ math].

Entonces, usando la suma de los primeros elementos [math] n [/ math] siendo [math] n [/ math], tenemos [math] n = na + bn (n-1) / 2 [/ math], o [ matemáticas] a = 1 – b (n-1) / 2 [/ matemáticas]. Entonces, para cualquier [math] b [/ math], podemos elegir un [math] a [/ math] para crear una serie diferente donde los primeros elementos [math] n [/ math] sumen a [math] n [/ math ] La suma de los primeros elementos [matemática] m + n = 2n [/ matemática] es [matemática] 2na + b2n (2n-1) / 2 = 2na + bn (2n-1) = 2na + 2n ^ 2b – bn [ /matemáticas]. Tenga en cuenta que [math] 2n = 2na + bn (n-1) = 2na + bn ^ 2 – bn [/ math], por lo que la suma de los primeros elementos [math] 2n [/ math] es [math] 2n + n ^ 2b [/ matemáticas]. Como podemos encontrar una serie para cualquier [matemática] b [/ matemática], podemos elegir [matemática] b [/ matemática] de manera que [matemática] 2n + n ^ 2b [/ matemática] sea cualquier valor que elijamos para cualquier [ matemáticas] n = m> 0 [/ matemáticas].

Para [matemática] m = n = 0 [/ matemática], la suma de los primeros términos [matemática] m + n = 0 [/ matemática] es [matemática] 0 [/ matemática].

Entonces, si no sabemos que [matemática] m \ ne n [/ matemática] o [matemática] m = n = 0 [/ matemática], no podemos decir nada sobre la suma de la primera [matemática] m + n [/ math] términos.

[matemáticas] S_n – S_m = m – n = (n – m) d [/ matemáticas],

donde [math] S_i [/ ​​math] es la suma de los primeros términos [math] i [/ math] de la secuencia y [math] d [/ math] es la diferencia común. Evidentemente, [matemáticas] d = -1 [/ matemáticas]. Con esto, obtenga el primer término de la secuencia y el resto es bastante sencillo.

Hay dos formas de interpretar la redacción de este problema: una en la que hay un par específico ( m , n ) tal que esto se cumple y otra en la que esto se cumple para valores arbitrarios de m . Como la gente ha señalado, el primero tiene una solución única solo cuando se requiere que myn sean desiguales.

Creo que la segunda interpretación (que fue la original) solo admite la solución “trivial” donde u 1 = 1 yd = 0, es decir, una serie de todas. En este caso, la suma de los primeros n términos es, por supuesto, n , por lo que el enunciado del problema se verifica fácilmente y la respuesta es m + n . Probar que esta es la única solución tomaría un poco de trabajo, pero creo que es cierto por la siguiente razón:

La suma de los primeros m términos de una serie aritmética con d distinto de cero es una función cuadrática de m , y por lo tanto n es. Por la misma lógica, m es una función cuadrática de n , por lo que requiere que m sea ​​una función cuártica de sí misma. Esto es imposible, lo que parece implicar que d debe ser cero.

aquí hay solución

de acuerdo a la pregunta

primer m término suma es n

de acuerdo con la fórmula de suma AP

n = m / 2 (2 * a + (m-1) * d) …… ..

Supuse a y d donde a y d son primer término y diferencia común

resolver la ecuación anterior

2 * n / m = 2 * a + (m-1) * d …… (1)

y la suma de n término es m

m = n / 2 (2 * a + (n-1) * d)

simplifica esto

2 * m / n = 2 * a + (n-1) * d ……. (2)

reste la ecuación (1) de la ecuación (2)

obtenemos

2 * (m / nn / m) = d * (n-1-m + 1)

2 * (m ^ 2-n ^ 2 / mn) = d * (nm)

2 * ((m + n) (mn) / mn) = d * (nm)

-2 * (m + n) (nm) / mn = d * (nm)

cancelar (nm) desde ambos lados

-2 (m + n) / mn = d ………. (3)

valor de colocación de d en el número de ecuación (2)

2m / n = 2a + (n-1) * (- 2 (m + n) / mn)

cancelar 2 de ambos lados

m / n = a- (n-1) (m + n) / mn

a = m / n + (n-1) (m + n) / mn ……. (4)

suma de términos (m + n)

S (m + n) = m + n / 2 (2a + (m + n-1) d)… .. (5)

poner el valor de ayd en la ecuación (5)

obtendremos

S (m + n) = m + n / 2 [2 * m / n + (n-1) (m + n) / mn + (m + n-1) * (- 2 (m + n) / mn)]

S (m + n) = (m + n) [m / n + (n-1) (m + n) / mn- (m + n) ^ 2 / mn + (m + n) / mn]

después de simplificar esta ecuación

obtendremos

S (m + n) = – (m + n) … Respuesta

espero que ayude

gracias

sandeep

Yo haría esta solución lo más simple posible usando El Principio de la Inducción Matemática.

Sea m = 1 yn = 2

Entonces la serie sería 2, -1, -4

Ahora m + n = 3

La suma de los tres términos anteriores es -3

En términos de myn, es -mn

Disfruta las matemáticas

Si [math] m = n [/ math], entonces las dos declaraciones de la primera oración son idénticas, y la suma de los primeros términos [math] n [/ math] es [math] n [/ math]. La suma de los primeros términos [matemática] (n + n) [/ matemática] o [matemática] 2n [/ matemática] no depende solo de [matemática] n [/ matemática]. Por ejemplo, en AP [matemática] 2,1,0, -1, -2, -3, \ ldots [/ matemática], la suma de los primeros términos [matemática] 3 [/ matemática] es [matemática] 3 [/ math], y la suma de los primeros [math] 6 [/ math] términos es [math] -3 [/ math]. Sin embargo, en AP [matemáticas] 0,1,2,3,4,5, \ ldots [/ matemáticas], la suma de los primeros términos [matemáticas] 3 [/ matemáticas] es [matemáticas] 3 [/ matemáticas] , pero la suma de los primeros términos [matemática] 6 [/ matemática] es [matemática] 15 \ ne -3 [/ matemática].

Por lo tanto, suponemos [math] m \ ne n [/ math]. Tenga en cuenta la siguiente fórmula, poco utilizada, para sumar AP:

La suma del término [matemática] i ^ {th} [/ matemática] [matemática] a_i [/ ​​matemática] al término [matemática] j ^ {th} [/ matemática] [matemática] a_j [/ matemática] de un AP es el promedio de estos dos términos por [matemáticas] (j-i + 1) [/ matemáticas].

Resumimos los primeros términos [matemáticos] (m + n) [/ matemáticos] de nuestro AP de tres maneras diferentes:

1. Resuma los primeros términos [matemáticos] m [/ matemáticos], luego resuma los siguientes términos [matemáticos] n [/ matemáticos].
2. Resuma los primeros términos [matemáticos] n [/ matemáticos], luego sume los siguientes términos [matemáticos] m [/ matemáticos].
3. Resuma los primeros términos [matemáticos] (m + n) [/ matemáticos] inmediatamente.

De la primera suma, obtenemos:

[matemáticas] n + n \ dfrac {a_ {m + 1} + a_ {m + n}} {2} \ quad [1] [/ matemáticas]

De la segunda suma, obtenemos:

[matemáticas] m + m \ dfrac {a_ {n + 1} + a_ {m + n}} {2} \ quad [2] [/ matemáticas]

Del tercer resumen, obtenemos:

[matemáticas] (m + n) \ dfrac {a_1 + a_ {m + n}} {2} \ quad [3] [/ matemáticas]

Estas tres sumas son todas iguales.

Primero igualemos [matemáticas] [1] [/ matemáticas] y [matemáticas] [2] [/ matemáticas]:

[matemáticas] n + n \ dfrac {a_ {m + 1} + a_ {m + n}} {2} = m + m \ dfrac {a_ {n + 1} + a_ {m + n}} {2} [/matemáticas]

[matemáticas] n (2 + a_ {m + 1} + a_ {m + n}) = m (2 + a_ {n + 1} + a_ {m + n}) [/ matemáticas]

[matemáticas] na_ {m + 1} -ma_ {n + 1} = m (2 + a_ {m + n}) – n (2 + a_ {m + n}) = (mn) (2 + a_ {m + n}). [/ matemáticas]

Pero [math] a_ {m + 1} = a_1 + md [/ math] y [math] a_ {n + 1} = a_1 + nd [/ math]. Por lo tanto

[matemáticas] n (a_1 + md) – m (a_1 + nd) = (mn) (2 + a_ {m + n}) [/ matemáticas]

[matemáticas] na_1 + nmd-ma_1-mnd = (mn) (2 + a_ {m + n}) [/ matemáticas]

[matemáticas] -a_1 (mn) = (mn) (2 + a_ {m + n}) [/ matemáticas]

[matemáticas] -a_1 = 2 + a_ {m + n} [/ matemáticas], ya que [matemáticas] m \ ne n [/ matemáticas]

[matemáticas] a_ {m + n} = -a_1 – 2 \ quad [4]. [/ matemáticas]

Sustituyendo [math] [4] [/ math] en [math] [3] [/ math], obtenemos que la suma de los primeros términos [math] (m + n) [/ math] es

[matemáticas] (m + n) \ dfrac {a_1-a_1-2} {2} = – (m + n). [/ matemáticas]

Denote el término inicial de esta serie por a y la diferencia común de dos términos sucesivos por d.

Entonces, de las condiciones en los problemas que obtenemos
ma + m (m − 1) / 2 = n,
na + n (n − 1) / 2 = m.

Podemos resolver este sistema de ecuaciones cuadráticas para descubrir los valores de a y d basados ​​en los valores fijos de myn. Después de eso, encontramos el valor de
(m + n) a + (m + n) (m + n − 1) / 2
como la respuesta a la pregunta formulada anteriormente.

Debería ser m + n + mnd

d es la diferencia común