Supongo que [math] \ pi (n) [/ math] se refiere a la función habitual de conteo de primos, que denota el número de primos menor o igual que [math] n [/ math].
Sí, [math] \ pi (n) [/ math] divide [math] n [/ math] para infinitamente [math] n [/ math].
Necesitaremos solo dos hechos clave:
- ¿Cuáles son las desventajas de las matemáticas no aplicadas?
- Cómo encontrar un polinomio [matemático] P (x) [/ matemático] con coeficientes enteros tales que [matemático] P (\ sqrt {2} + \ sqrt {3}) = 0 [/ matemático]
- Cómo demostrar que el proceso de eliminación cuadrada termina después de un número finito
- ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse 6 personas en 10 asientos?
- ¿Cómo se puede demostrar que cuando dos subespacios de R ^ N de dimensión n-1 se cruzan, el subespacio resultante tiene dimensión N-2?
(1) Para todos [matemática] n [/ matemática], [matemática] \ pi (n + 1) – \ pi (n) [/ matemática] es [matemática] 0 [/ matemática] o [matemática] 1 [ / matemáticas]: esto es fácil de ver;
(2) A medida que [math] n [/ math] aumenta, [math] \ dfrac {n} {\ pi (n)} [/ math] crece sin límite. Es decir, para cualquier [matemática] k [/ matemática] fija, existe [matemática] N [/ matemática] tal que, para todos [matemática] n> N [/ matemática], [matemática] \ dfrac {n} { \ pi (n)}> k [/ matemáticas]. Esto es intuitivamente claro, pero se puede obtener una prueba rigurosa del conocido Teorema de los números primos.
Ahora, de hecho, demostraremos que para cualquier número entero suficientemente grande [matemática] k [/ matemática], existe [matemática] n [/ matemática] tal que [matemática] \ dfrac {n} {\ pi (n)} = k [/ matemáticas]. Esto da el resultado deseado.
Suponga lo contrario, que existe una [matemática] k [/ matemática] sin tal [matemática] n [/ matemática]. Entonces, a partir de (2), sabemos que debe existir [matemática] N [/ matemática] de modo que sea el entero más grande para el cual [matemática] \ dfrac {N} {\ pi (N)} k [/ math]. Usando (1), tenemos dos casos:
a) [matemáticas] \ pi (N + 1) = \ pi (N) +1 [/ matemáticas]. Luego tenemos [math] \ dfrac {N + 1} {\ pi (N + 1)} = \ dfrac {N + 1} {\ pi (N) +1}, [/ math] que debe ser menor que [ matemáticas] \ dfrac {N} {\ pi (N)} [/ matemáticas] (es posible que desee comprobar esto por sí mismo), y por lo tanto menos de [matemáticas] k [/ matemáticas], contradicción.
b) [matemáticas] \ pi (N + 1) = \ pi (N) [/ matemáticas]. Luego tenemos [math] \ dfrac {N + 1} {\ pi (N + 1)} = \ dfrac {N + 1} {\ pi (N)}> k [/ math], mientras que [math] \ dfrac {N} {\ pi (N)} <k [/ matemáticas]. Esto da [matemática] k \ pi (N) -1 <N <k \ pi (N) [/ matemática], pero no puede existir un número entero [matemática] N [/ matemática] estrictamente entre los dos enteros consecutivos [matemática] k \ pi (N) -1 [/ matemáticas] y [matemáticas] k \ pi (N) [/ matemáticas]! Por lo tanto, también obtenemos una contradicción, que completa la prueba. 🙂
