Ok, después de modificar el enunciado del problema y poner la restricción de que ‘a’, ‘b’, ‘c’ no son negativos, es un problema mejor.
La respuesta es 16, que se logra cuando [matemáticas] a = b = \ frac {1} {4}, c = \ frac {1} {2} [/ matemáticas] .
Aquí es por qué:
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En primer lugar, centrémonos en ‘a’ y ‘b’. podemos argumentar que para minimizar [math] \ frac {a + b} {abc} [/ math], ayb deben ser iguales. Porque si no son iguales, siempre podemos reducir nuestra fracción de interés (sin cambiar c) eligiendo [math] a_0 = b_0 = \ frac {a + b} {2} [/ math] que significaría: [math ] a = a_0 + \ epsilon, b = a_0 – \ epsilon [/ math]
Eso es porque:
[matemáticas] \ frac {a_0 + b_0} {a_0 * b_0 * c} = \ frac {a + b} {{a_0} ^ 2 * c} <\ frac {a + b} {({a_0} ^ 2 – \ epsilon ^ 2) * c} = \ frac {a + b} {abc}. [/ math]
Ahora que sabemos a = b, reescribamos nuestra fracción objetiva:
[matemáticas] \ frac {a + b} {abc} = \ frac {2a} {a ^ 2 (1-2a)} = \ frac {2} {a (1 – 2a)} [/ matemáticas]. donde [matemáticas] 0 <a <\ frac {1} {2} [/ matemáticas]
Minimizar arriba es equivalente a maximizar [matemáticas] a (1-2a) [/ matemáticas] donde [matemáticas] 0 <a <\ frac {1} {2}. [/ Matemáticas]
poniendo la derivada a cero:
[matemática] \ frac {d} {da} \ {a – 2a ^ 2 \} = 1- 4a = 0. [/ matemática] Significa que [matemática] a = \ frac {1} {4}. [/ matemática ]
Por lo tanto, [matemática] a = b = \ frac {1} {4}, c = \ frac {1} {2}. [/ Matemática]
