La respuesta corta, como se da, es 23, elige 6, que WolframAlpha te puede decir que es 100947.
La fórmula para esto involucra factoriales y se basa en el siguiente concepto:
¿De cuántas maneras diferentes puedes alinear tus 23 bloques? 23 opciones para el primero en la línea, luego 22 opciones para el siguiente (ya que lo está eligiendo entre los 22 bloques restantes), y 21 opciones para el siguiente, etc. Como necesitamos todas estas variaciones posibles, hacemos 23 * 22 * 21 *… * 3 * 2 * 1 (elegir qué bloque colocar en el último lugar no es realmente una opción libre, ¡solo queda un bloque!)
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Ahora, esto viene a muchas combinaciones diferentes (llamado “23 factorial”, escrito “23!”, En realidad equivale a alrededor de 25 mil millones de millones (ok, ya que insiste, 25,852,016,738,884,976,640,000).
De todos estos, ¿cuántos tienen un conjunto particular de 6 bloques numerados en el frente? Puede pensar uno, ¡pero hay 6! formas de organizarlos (tener bloques 2, 3, 4, 5, 6, 7 es equivalente a 2, 4, 7, 6, 3, 5 pero son distintos en nuestra lista exhaustiva de 23 combinaciones). Así que hay 120 formas de organizar esos primeros seis bloques.
Además, hay 17! formas de organizar los bloques restantes. Entonces, por cada conjunto válido de seis bloques dados en el frente, ¡hay 17! (ok, 355,687,428,096,000) formas de organizar los bloques restantes.
En total, eso significa 6! * 17! de nuestros 23! las combinaciones tienen los números 2, 3, 4, 5, 6 y 7 al frente (en algún orden) y el resto después (en algún orden). Son 256,094,948,229,120,000 variaciones diferentes que se ajustan a cada elección distinta de seis bloques.
Parece mucho, ¡pero recuerda que eso está fuera de los 23! formas de organizarlos todos. ¡Necesitamos dividir 23! por el número de variaciones que son equivalentes (los mismos seis bloques en el frente) porque como no nos importa el orden, todos son equivalentes. 23! / (6! * 17!) = 100947. Pensaste que era un gran número hasta que viste a los demás …
Este concepto es mucho más fácil de entender si puede enumerar todo usted mismo. Elija 2 objetos de 5, y el problema se convierte en: ¿cuál de la siguiente lista de todas las permutaciones (reordenamientos) de A, B, C, D y E comienza con un triplete dado (por ejemplo, A, B, C)?
ABCDE, ABCED, ABDEC, …
Todavía es una lista grande (120 artículos), pero los que comienzan con ABC podrían terminar con DE o ED, y también podrían comenzar con ACB, BAC, BCA, CAB o CBA. Entonces eso es 6 * 2 = 12 de ellos comenzando con alguna permutación de ABC y terminando con alguna permutación de DE. De 120 posibilidades, 12 coinciden con cada triplete de inicio único, por lo que hay 10 tripletes de inicio únicos diferentes. No toma mucho trabajo enumerarlos realmente:
ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE (eso es todo 10)
