La pregunta es un poco vaga, por lo que la interpretaré de una manera posible.
Antes que nada pensar
[matemáticas] y (t) = \ sin {t} [/ matemáticas]
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donde t es un parámetro (“ángulo”) (en radianes). Dentro de un círculo de radio 1 centrado en (0,0), piense en la cuña
[matemáticas] (0,0), (1,0), (\ cos {t}, \ sin {t}) [/ matemáticas]
Entonces aquí y es la coordenada y de un movimiento particular en movimiento circular alrededor del borde de un círculo de radio 1.
El hecho clave que debería haber aprendido ahora es que cuando considera una cuña pequeña (el parámetro t es pequeño) es que cuando consideramos que t es la longitud del arco circular (es decir, la medida en radianes), entonces cuando la cuña es pequeño, entonces it y [math] \ sin {t} [/ math] (la coordenada y) son casi lo mismo, y entonces y ‘(0) = 1 (la coordenada x).
Ese es el impacto de la medida en radianes: simplificar las derivadas de las funciones trigonométricas (no requiere un factor adicional).
Imagine, por ejemplo, que decidimos usar grados y no medidas en radianes, y consideremos [math] S (t) [/ math], el seno del ángulo t expresado en grados en lugar de radianes.
Unos pocos valores
[matemáticas] S (45) = \ sin (\ frac {\ pi} {180} 45) = \ sin (\ frac {\ pi} {4}) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} [ /matemáticas]
[matemáticas] S (90) = \ sin (\ frac {\ pi} {180} 90) = \ sin (\ frac {\ pi} {2}) = 1 [/ matemáticas]
Luego, convirtiendo [math] S (t) [/ math] a [math] \ sin {t} [/ math]:
[matemáticas] S (t) = \ sin (\ frac {\ pi} {180} t) [/ matemáticas]
y entonces
[matemáticas] S ‘(t) = \ frac {\ pi} {180} C (t) [/ matemáticas]
dónde
[matemáticas] C (t) [/ matemáticas] es el coseno del ángulo t expresado en grados (no radianes)
Por ejemplo
[matemáticas] C (180) = \ cos (\ frac {\ pi} {180} 180) = \ cos (\ pi) = – 1 [/ matemáticas]
Entonces puede ver que el cálculo se vuelve más complejo cuando tiene grados expresados en grados. Para algunos propósitos, los grados son convenientes, pero complican enormemente los derivados.