Para encontrar los tres valores de [math] \ sqrt [3] {- 3 \ sqrt {2} + 3i} [/ math] numéricamente, primero conviértalo en coordenadas polares. Las coordenadas polares son el ángulo, llamado “argumento”, generalmente denotado [math] \ theta [/ math], y la distancia desde el origen, llamado “módulo”, generalmente denotado [math] r [/ math]. Luego, para encontrar la primera raíz cúbica, divida el argumento entre 3 y encuentre la raíz cúbica del módulo, y luego convierta esto de nuevo en coordenadas cartesianas. Para encontrar las otras dos raíces cúbicas, agregue [math] \ frac {2 \ pi} {3} [/ math] y [math] \ frac {4 \ pi} {3} [/ math] al argumento y convierta cada uno de ellos a la forma cartesiana.
Bien, ahora, aquí vamos. Primero, [matemáticas] -3 \ sqrt {2} + 3i \ aprox -4.24264 + 3i [/ matemáticas]. Ahora, el argumento es el arctan de [math] \ dfrac {y} {x} [/ math], y está en el segundo cuadrante, entre [math] \ frac {\ pi} {2} [/ math] y [ matemática] \ pi [/ matemática], entonces el argumento es [matemática] \ aproximadamente 2.526113 [/ matemática]. El módulo es [matemática] \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} \ aprox 5.196152 [/ matemática].
Ahora, divida el argumento entre 3 y cubere el módulo para obtener [matemáticas] 0.842038 [/ matemáticas] y [matemáticas] 1.732051 [/ matemáticas], respectivamente. Convierta estos de nuevo a coordenadas cartesianas usando [matemáticas] x = r \ cos (\ theta) [/ matemáticas] y [matemáticas] y = r \ sin (\ theta) [/ matemáticas], dando su primera raíz como [matemáticas] 1.1534491 + 1.292113i [/ matemáticas].
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Ahora, agregue [math] \ frac {2 \ pi} {3} [/ math] y [math] \ frac {4 \ pi} {3} [/ math] al argumento, y conviértalos de nuevo a coordenadas cartesianas, dándole [matemática] -1.6957270 + 0.352860i [/ matemática] y [matemática] 0.5422779-1.644973i [/ matemática] para las otras dos raíces.
En caso de que [math] -3 \ sqrt {2} + 3i [/ math] sea el cubo perfecto de alguna expresión simple, realicé estos cálculos con la máxima precisión de Excel y los ejecuté a través de la Calculadora simbólica inversa en vano. Como otra comprobación más, revisé su pregunta a través de Wolfram Alpha, que proporcionó respuestas numéricas (no simbólicas), junto con algunos gráficos agradables que muestran las tres soluciones en un círculo en el plano complejo.
