Digamos que tengo un objeto matemático. En relación con otros objetos con estructura similar, suponga que proporciona un medio para equiparar piezas de esta estructura. Luego, un cociente por esta relación literalmente iguala las piezas, y si elige bien su relación, este nuevo objeto encajará en el mismo universo de objetos matemáticos que el original. Entonces, un cociente pasa de piezas a clases de equivalencia de piezas, y tiene que retener la estructura del objeto original de alguna manera. Una manera concisa de decirlo es que hay una transformación del objeto original al cociente que se relaciona como piezas, y además esta relación es universal: si me das otro objeto que también reciba dicha transformación, puedo proporcionar una transformación única. desde el cociente hasta este nuevo objeto para que el mapa del cociente se transmita y todo se conmuta.
Por ejemplo: tengo ocho puntos distintos como un espacio discreto. Me das una relación que empareja estos puntos únicamente entre sí. Después del cociente, tenemos un espacio de cuatro clases de equivalencia (es decir, cuatro pares de puntos), y el mapa del cociente asigna cada dos puntos a su par. Esta es la acción de división de números naturales.
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