Cómo sumar / restar / multiplicar y dividir vectores

Iba a escribir una respuesta larga, pero supongo que Internet ya tiene todo lo que necesitas.
Puede buscar páginas de Wikipedia o buscar en Google para encontrar explicaciones completas de las reglas a utilizar. Puedes comenzar desde aquí: http://en.wikipedia.org/wiki/Euc…

Solo aclararé algunos puntos.

  1. Un vector puede considerarse como una colección de componentes independientes separados. La suma y la resta se realizan fácilmente sumando o restando esos componentes por separado. Si representa un vector de una manera diferente (por ejemplo: como magnitud y dirección), la suma y la resta serán un poco complicadas.
  2. La multiplicación como la conoce solo se define para cantidades escalares. Para los vectores, definimos nuevas reglas y significados para la multiplicación. A saber; producto vectorial y producto puntual. Cada uno tiene un significado diferente y un método diferente para calcular.

Primero para sumar y restar vectores, necesita que tengan la misma forma / tamaño. Esto se debe a que en estas operaciones simplemente sumarás o restarás los elementos en las posiciones correspondientes en ambos vectores para generar el mismo elemento de posición en el vector resultante.

Ejemplo :
[1, 4, 3, 5] + [8, 4, 9, 12] = [1 + 8, 4 + 4, 3 + 9. 5 + 12] = [9, 8, 12, 17]

La resta es similar , solo intercambie el símbolo de operación, obtendrá esto:
[1, 4, 3, 5] – [8, 4, 9, 12] = [1-8, 4-4, 3-9. 5-12] = [-7, 0, -6, -7]

La multiplicación tiene un paradigma enteriemente diferente, para comenzar hay dos tipos de multiplicación. El primero es la multiplicación de un número y un vector y el otro es la multiplicación de dos vectores. Para multiplicar un vector por un solo número (que llamamos escalar ), simplemente multiplique cada uno de los elementos del vector para el número dado.

Ejemplo :
3 * [1, 4, 3, 5] = [3 * 1, 3 * 4, 3 * 3, 3 * 5] = [3, 12, 9, 15]

Sh * t, tengo que ir, lo siento por las partes que faltan!

Agregar vectores es simple. Simplemente agregue cada término para obtener el vector resultante. P.ej

[matemáticas] \ begin {bmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} x_0 + x_1 \\ y_0 + y_1 \\ z_0 + z_1 \ end {bmatrix} [/ math]

Multiplicar vectores puede significar un par de cosas diferentes.

Primero, hay una multiplicación escalar , que multiplica un valor escalar por cada término del vector para producir un nuevo vector:

[matemáticas] a \ times \ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} ax \\ ay \ end {bmatrix} [/ math]

En segundo lugar, está el producto escalar (o producto interno ) de un vector, que produce un escalar.

[matemáticas] \ begin {bmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \ end {bmatrix} \ cdot \ begin {bmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \ end {bmatrix} = x_0x_1 + y_0y_1 + z_0z_1 [/ math]

Esto es equivalente a [matemáticas] \ | \ mathbf {v_0} \ | \ | \ mathbf {v_1} \ | cos (\ theta) [/ math], que significa las magnitudes de cada vector multiplicado por el ángulo entre ellos.

El producto punto es básicamente una generalización de la multiplicación ‘natural’. Cuando dos vectores están perfectamente alineados, el producto escalar multiplica exactamente las magnitudes de cada vector, cuando están desalineados, el producto escalar es menor que esa magnitud.

En tercer lugar, está el producto cruzado (o producto externo ), que produce un vector perpendicular al plano de los otros dos vectores. Esto solo funciona en 3 (y curiosamente, 7) dimensiones, pero se usa con frecuencia en física para cosas como el par y el momento angular. Esto se calcula como:

[matemáticas] \ | \ mathbf {v_0} \ | \ | \ mathbf {v_1} \ | sin (\ theta) \ vec {n} [/ math]

donde [math] \ vec {n} [/ math] es el vector unitario normal a los otros dos vectores. También se puede calcular directamente:

[matemáticas] \ begin {bmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \ end {bmatrix} \ times \ begin {bmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} y_0z_1-z_0y_1 \\ z_0x_1 – x_0z_1 \\ x_0y_1-x_1y_0 \ end {bmatrix} [/ math]

Si el producto escalar intenta captar la multiplicación de magnitud en una sola dimensión, el producto cruzado intenta captar la multiplicación de magnitudes en todas las dimensiones simultáneamente; se llama producto cruzado porque está mirando la interacción de los vectores a través de las dimensiones.