En el Análisis complejo, las funciones analíticas se denominan holomorfas . Son la clase de funciones que son iguales a su serie Laurent en todo su dominio. El ejemplo clásico (del análisis real) de una función no analítica es
[matemáticas]
e ^ {- 1 / x} \ chi _ {(0, \ infty)} \ neq \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {f ^ {(n)} (0)} {n!} x ^ n = 0,
[/matemáticas]
donde he intentado que Taylor expanda la función [matemáticas] f (x) = e ^ {- 1 / x} \ chi _ {(0, \ infty)} [/ matemáticas] alrededor de [matemáticas] x = 0. [/matemáticas]
La continuación analítica es solo una aplicación de las funciones analíticas. Se utiliza para extender el dominio de la función Riemann Zeta a todo el plano complejo, excepto para un solo punto en [math] s = 1 [/ math].
Muchas de las estimaciones más sólidas de la Hipótesis de Riemann, un problema de un millón de dólares planteado por el Clay Mathematics Institute, utilizan los límites del análisis complejo.
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A continuación se muestra una imagen magnífica de ciertas propiedades de la función zeta.
De Wiki: 
“Función zeta de Riemann ζ ( s ) en el plano complejo. El color de un punto s codifica el valor de ζ ( s ): los colores cercanos al negro denotan valores cercanos a cero, mientras que el tono codifica el argumento del valor. El punto blanco en s = 1 es el polo de la función zeta; los puntos negros en el eje real negativo y en la línea crítica Re ( s ) = 1/2 son sus ceros. Valores con argumentos cercanos a cero, incluyendo reales positivos en la media línea real se presentan en rojo “.
