Gracias por el A2A.
Hay muchas veces en matemáticas donde una frase tiene un significado contraintuitivo, o donde un modificador cambia el significado de un sustantivo de una manera extraña. (Mi ejemplo favorito, del libro de análisis de Gerald Folland: “Por lo tanto, vemos que [math] \ mu [/ math] es una medida finitamente aditiva, pero no una medida”).
Este no es uno de esos momentos. La frase “colección contable de intervalos abiertos disjuntos” significa exactamente lo que dice:
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Deje que [math] \ mathcal {A} [/ math] sea una colección contable de intervalos abiertos disjuntos. Luego
- [math] \ mathcal {A} [/ math] es una colección, es decir, un conjunto;
- [math] \ mathcal {A} [/ math] es contable, es decir, contiene solo muchos objetos;
- los objetos en [math] \ mathcal {A} [/ math] son intervalos abiertos, es decir, subconjuntos de [math] \ mathbb {R} [/ math] de la forma [math] (- \ infty, b) [ / matemática], [matemática] (a, b) [/ matemática] o [matemática] (a, + \ infty) [/ matemática]; y
- cualesquiera dos objetos diferentes en [math] \ mathcal {A} [/ math] son disjuntos, lo que significa que su intersección está vacía.
A su segunda pregunta: no estoy seguro de cómo “ilustraría” este hecho sobre los subconjuntos abiertos de [math] \ mathbb {R} [/ math] (no es cierto en muchos otros espacios), excepto dibujando imágenes de open establece y convencer a ti mismo. En cuanto a la prueba: primero demuestre que cada [matemática] U \ subconjunto \ mathbb {R} [/ matemática] abierta es una unión disjunta de intervalos abiertos (de hecho, únicamente). Luego demuestre que ninguna colección incontable de subconjuntos abiertos de [math] \ mathbb {R} [/ math] es disgregada por pares.
