Me gusta la respuesta sucinta de Daniel McLaury y, en ese sentido, daré otra relación entre el álgebra lineal y la geometría algebraica.
¿Alguna vez has tratado de perturbar una matriz (oh, sabes que lo has hecho, si has hecho algún análisis numérico), pero has encontrado que ciertas perturbaciones funcionan mejor que otras? ¿No podría explicar por qué? Esto es probable porque estaba viendo una función objetivo que se definió realmente en el conjunto de matrices de una determinada clase (por ejemplo, matrices simétricas, matrices positivas definidas) en lugar del conjunto de todas las matrices. Por lo general, los conjuntos especiales de matrices (por ejemplo, el grupo lineal especial, el grupo ortogonal, las matrices simétricas, las matrices metaplécticas, etc.) forman una variedad algebraica. Puedo definir estos conjuntos mirando los conjuntos cero de algún polinomio (por ejemplo, generalmente el conjunto de determinantes o algún otro polinomio simétrico de las columnas de una matriz).
¿Por qué es esto importante (no solo para el álgebra lineal)?
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¿Cómo nos aseguramos de que estamos tomando el camino correcto dentro del grupo de rotación para darnos un cierto movimiento del brazo? No necesariamente nos movemos a lo largo de rutas lineales (que son fáciles de parametrizar), pero podemos especificar las bases de Gröbner de un conjunto restringido de splines / curvas polinómicas. Ver: http://www-math.mit.edu/phase2/U… - Optimización convexa !
Proporciona restricciones adicionales para convertir algunos problemas ingenuamente no convexos en problemas convexos (bueno, para ser justos, las restricciones realmente siempre estuvieron ahí, solo necesita saber para escribir las restricciones polinómicas correctas sobre las restricciones lineales). Aquí hay un buen ejemplo de esto:
[1111.0952] Cálculo de una factorización matricial no negativa – Probablemente
Muestran que para los modelos de temas que satisfacen una cierta condición de separabilidad débil, el conjunto de posibles mezclas de temas está contenido dentro de un conjunto semi-algebraico (por ejemplo, relajar la noción de una variedad desde cero conjuntos de polinomios hasta desigualdades de polinomios). Este es un buen ejemplo de cuando una relajación convexa de un problema tiene una descripción algebraica equivalente (pero generalmente más compacta) en términos de polinomios de orden superior - ¡Descomposición escasa más de rango bajo para modelos gráficos !
Ver: http://users.cms.caltech.edu/~ve… Efectivamente, puede romper inferir la estructura de covarianza de un modelo gráfico gaussiano que se supone que está formado por una porción escasa (observada) y un rango bajo porción (latente). Al aprovechar el hecho de que estamos en una cierta variedad algebraica, podemos idear una condición de optimización en nuestro espacio de búsqueda de matrices de covarianza que se reduce a encontrar una cierta distribución tangente y el paquete normal de esta distribución. Si escribimos esta condición más explícitamente, encontramos que se reduce a que nuestro descenso de gradiente / descenso de gradiente estocástico nos perturbe en el submanifold correcto (cuyos paquetes tangentes y normales corresponden a la distribución tangente mencionada anteriormente y su paquete complementario) y luego una geodésica en este múltiple. (Perdón por la explicación aproximada, es un poco tedioso papel para leer tu primera vez, pero vale la pena)
[Esta es una de las aplicaciones prácticas más geniales de AG] - Árboles filogenéticos !
No sé mucho sobre esto, pero vea esta bonita publicación de blog: Filogenética y Geometría Algebraica
