La invención de los yangianos fue motivada por la búsqueda de soluciones a la ecuación Yang-Baxter [1]. Sin embargo, no creo que necesite tener mucho conocimiento de esto para leer el libro de Molev [2], ya que está más preocupado por las aplicaciones de los yangianos y los yangianos retorcidos a la teoría de la representación de álgebras de Lie y grupos cuánticos relacionados. Molev ofrece una motivación puramente algebraica para las relaciones definitorias de [math] Y (\ mathfrak {gl} _ {N}) [/ math] en el prefacio, y la matriz R de Yang proporciona una forma conveniente de expresarlas.
Además, básicamente no tengo experiencia en física. Sin embargo, intentaré responder la pregunta con la esperanza de que al menos las referencias puedan serle útiles. La ecuación cuántica de Yang-Baxter (qYBE) es la siguiente identidad
[matemáticas] R_ {12} (u) R_ {13} (u + v) R_ {23} (v) [/ matemáticas] = [matemáticas] R_ {23} (v) R_ {13} (u + v) R_ {12} (u) [/ matemáticas].
Aquí [math] R (u) [/ math] es un operador que actúa sobre [math] \ mathbb {C} ^ {N} \ otimes \ mathbb {C} ^ {N} [/ math] para algunos [math] N [/ math] y los subíndices indican en qué copias de [math] \ mathbb {C} ^ {N} [/ math] actúa el operador. Entonces la identidad vive en [math] (\ mathrm {End} \ mathbb {C} ^ N) ^ {\ otimes 3} (u, v) [/ math].
- Cómo sobresalir en matemáticas y física en un nivel similar a Feynman, Planck, Einstein, Hawking
- ¿Qué es la teoría de grupos en matemáticas y su aplicación en física?
- ¿Es posible que haya realmente un número infinito de dimensiones? Si no, ¿por qué?
- ¿Cuántas matemáticas y física necesitas saber para obtener un título en ingeniería?
- ¿Existen números irracionales? Específicamente, si elegimos unidades fundamentales basadas en constantes fundamentales (la velocidad de la luz, el número de electrones), ¿existen físicamente números irracionales? ¿Hay un número irracional de algo en el universo?
La ecuación de Yang-Baxter aparece en varias circunstancias, y generalmente se asocia con la siguiente imagen: 
Las líneas en cierto sentido representan copias del espacio vectorial [matemáticas] \ mathbb {C} ^ N [/ matemáticas] y las [matemáticas] R_ {ij} (u) [/ matemáticas] están asociadas con los vértices donde se cruzan las líneas terminado.
Esta imagen es muy similar a la que representa la relación de trenza del grupo de trenzas: 
y aparentemente están relacionados (ver [4]).
Históricamente, el qYBE surgió en el estudio de modelos integrables en mecánica estadística. Los modelos integrables son aquellos para los cuales la función de partición se puede calcular exactamente. Los modelos exactamente solucionables son difíciles de encontrar y tienden a estar en una sola dimensión espacial, o dos, y restringidos a una red. Se dan muchos ejemplos en el libro [2], especialmente modelos de imanes que consisten en moléculas (con espines) que se encuentran en los sitios de una red regular. El qYBE, que se conoce como la relación del operador estrella-triángulo parametrizado, se deriva como una condición en las ‘funciones de peso de Boltzmann’ para los vértices en la red, que es suficiente para garantizar las propiedades del modelo que lo hacen solucionable. La condición es entonces que el peso total asociado con los puntos de la red configurados como a la izquierda es igual al asociado con la configuración a la derecha.
Como se menciona en [4], este diagrama también aparece en [5], donde se utiliza para representar la dispersión de partículas. El tiempo fluye por la página y la pendiente de la línea está relacionada con el impulso de la partícula asociada. Como no tengo experiencia en física, realmente no sé de qué se trata. 
La ecuación cuántica de Yang-Baxter también figura en la teoría de álgebras cuasitriangulares de Hopf (véase, por ejemplo, la Sección 9.4 en Etingof y Schiffmann [6]). En este libro, otra representación esquemática de R como se da, que puede combinarse con las del producto y el coproducto para codificar varias relaciones en diagramas.
Una explicación de la motivación para estudiar álgebras cuasitriangulares de Hopf y de la ecuación clásica de Yang-Baxter en relación con la cuantificación de bialgebras de Lie se da en [7].
==
[1] Drinfeld: [15] VG Drinfeld. Álgebras de Hopf y la ecuación cuántica de Yang-Baxter. Dokl Akad Nauk SSSR, 283 (5): 1060-1064, 1985.
[2] Molev: Yangians y álgebra clásica de mentiras, 2007
[3] Baxter: modelos resueltos exactamente en mecánica estadística, 1982
[4] Doikou, Evangelisti, Feverati, Karaiskos: Introducción a la Integrabilidad Cuántica http://arxiv.org/abs/0912.3350
[5] AB Zamolodchikov y Al.B. Zamolodchikov, Ann. Phys. 120 (1979) 253.
[6] Etingof y Schiffmann: Conferencias sobre grupos cuánticos, segunda edición, 2002
[7] Drinfeld: Grupos cuánticos, en actas del Congreso internacional
de matemáticos, vol. 1, 2 (Berkeley, California, 1986), páginas 798–820, Providence,
RI, 1987. Amer. Matemáticas. Soc.
