Es útil saber algo de geometría diferencial básica y poder pensar de manera independiente de coordenadas. Revisaré brevemente los conceptos necesarios, pero le recomendamos que consulte un libro de texto de relatividad general para esto; por ejemplo, suelo consultar Gravitation de Misner et al.
Si los componentes [math] A_ \ mu [/ math] forman un vector covariante y los componentes [math] B ^ \ mu [/ math] forman un vector contravariante, entonces [math] B [/ math] representa un vector tangente y [math] A [/ math] representa una función lineal que actúa sobre el espacio de los vectores tangentes, que también se denomina “vector cotangente”. La contracción [matemática] A_ \ mu B ^ \ mu [/ matemática] representa la evaluación de esa lineal funcional [matemática] A [/ matemática] en el vector tangente [matemática] B [/ matemática], que puede escribirse en un manera independiente de coordenadas como [matemática] A (B) [/ matemática]. Hasta ahora, la métrica no es necesaria; Esto tiene sentido en cualquier variedad, ya sea riemanniana, pseudo-riemanniana o ninguna de las dos.
La métrica [matemática] g [/ matemática] le brinda la capacidad de tomar un producto interno de dos vectores tangentes ubicados en el mismo punto, produciendo un escalar, que podemos escribir como [matemática] \ langle u, v \ rangle [/ matemáticas]. Sin la métrica, el único producto escalar que puede formar es el de un vector tangente y un vector cotangente, pero con la métrica, también puede multiplicar dos vectores tangentes para obtener un escalar.
Como [math] \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle [/ math] es bilineal, la aplicación parcial de [math] g [/ math] a uno de sus argumentos induce una funcionalidad lineal en el otro argumento. Es decir, para [math] u [/ math], la operación [math] \ langle u, \ cdot \ rangle [/ math] es una función lineal en su argumento restante. Este funcional lineal se denota por [math] u ^ \ flat [/ math]. Para que podamos escribir
[matemáticas] u ^ \ flat (v) = \ langle u, v \ rangle [/ math]
Como [math] u ^ \ flat [/ math] es un vector cotangente, le daríamos un índice en la planta baja. Los físicos dicen que la métrica nos da una forma de “bajar el índice” en un vector contravariante. La matriz inversa de la métrica se puede usar para deshacer esta operación o “elevar el índice”: dado cualquier vector cotangente [matemático] f [/ matemático], puede producir un vector tangente [matemático] f ^ \ sharp [/ matemático ] tal que para todos los vectores tangentes [math] v [/ math], tenemos
[matemáticas] \ langle f ^ \ sharp, v \ rangle = f (v) [/ math]
En otras palabras, la acción del vector cotangente es equivalente a tomar el producto interno con algún vector tangente.
Debido a que hay una y solo una métrica para una variedad (pseudo-) riemanniana dada, como nuestro universo, tratamos un vector tangente y su vector cotangente correspondiente como “una especie de” el mismo objeto, y los escribimos usando la misma letra, usando la métrica para subir o bajar índices como mejor nos parezca.
Volvamos a [matemáticas] A_ \ mu B ^ \ mu [/ matemáticas], que es la forma de escribir [matemáticas] A (B) [/ matemáticas] en componentes. Bueno, de acuerdo con lo anterior, [matemáticas] A (B) = \ langle A ^ \ sharp, B \ rangle = B ^ \ flat (A ^ \ sharp) [/ math]. Los componentes de [math] B ^ \ flat [/ math], un vector cotangente, escribimos como [math] B_ \ mu [/ math]; [math] A ^ \ sharp [/ math] es un vector tangente y sus componentes son [math] A ^ \ mu [/ math]. Poniéndolo todo junto
[matemáticas] A_ \ mu B ^ \ mu = A (B) = B ^ \ flat (A ^ \ sharp) = B_ \ mu A ^ \ mu [/ math]
La métrica fue lo que hizo esto posible. Sin él, se le podría dar el vector tangente [matemático] B ^ \ mu [/ matemático] pero no habría una forma canónica de convertirlo en un vector cotangente, por lo que [matemático] B_ \ mu [/ matemático] no tendría significado sensible
