La teoría cuántica de campos trata sobre campos. Un campo es algún tipo de cantidad que varía en el espacio-tiempo. Un ejemplo familiar es un campo magnético. En cada punto en el espacio-tiempo hay un vector que da una magnitud y dirección del campo magnético allí. La teoría del campo cuántico trata sobre la dinámica de estos campos.
La teoría del campo cuántico también se trata de ecuaciones diferenciales parciales. Lo que esto significa es que una parte importante de la dinámica está determinada por la velocidad de cambio de los campos a medida que viaja a lo largo de un vector en el espacio-tiempo. Por ejemplo, cerca de un imán, el campo disminuye a medida que te alejas del imán. Este tipo de tasa de cambio juega un papel importante en la teoría cuántica de campos (y también en la teoría clásica de campos).
Pero, ¿qué significa “tasa de cambio”? Básicamente necesitas comparar el campo en dos lugares diferentes en el espacio-tiempo. En el ejemplo anterior, comparé el campo magnético entre dos puntos, uno más cercano que el otro a un imán. Eso parece sencillo, solo mide la magnitud y la dirección en un lugar, la mide en otro lugar y compara los números.
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Pero una cosa que Einstein nos enseñó fue que no se pueden comparar cosas separadas en el espacio-tiempo. Ni siquiera se puede decir cuándo dos eventos en el espacio-tiempo son simultáneos. Entonces deberíamos cuestionar qué significa comparar campos magnéticos en diferentes lugares.
Si desea comparar dos cosas separadas, debe arrastrar una o ambas para que ambas terminen en el mismo lugar, o arrastre su instrumento de medición de un lugar a otro. Entonces puedes comparar. Por lo tanto, necesita una regla que diga que si mide X en un extremo de una ruta y luego se mueve hacia el otro extremo, ¿cuál es la medida equivalente en el otro extremo? Tomar diferentes caminos de A a B podría incluso dar resultados diferentes.
Entonces, si tiene una de estas reglas, puede calcular las tasas de cambio a medida que avanza por una ruta. Pero, ¿cuál debería ser la regla? Podría imaginarse que la regla en sí misma puede variar de ruta a ruta y dependiendo de los puntos finales y la ruta tomada entre esos puntos finales. Parece que hay una gran cantidad de tales reglas, pero puede simplificar las cosas hasta el punto en que la regla solo se describe por un grupo de campos (conocidos como campos de indicador) que dicen lo que sucede cuando se mueve por el espacio-tiempo.
Ahora viene lo extraño: considera que la regla en sí misma (o, de manera equivalente, el conjunto de campos de indicador) es solo otra parte del sistema físico con su propia dinámica. Esa es la teoría del calibre. Es una teoría que involucra campos variables y un montón de reglas diferentes sobre cómo deben compararse esos campos en el espacio-tiempo.
Para completar, debo señalar algunas cosas que le permitirán comparar con las descripciones de otras personas. La regla sobre cómo comparar campos en diferentes puntos se conoce como Conexión (paquete de vectores). La regla sobre cómo usar una conexión para obtener tasas de cambio se denomina derivada covariante. Las cantidades que está comparando desde un extremo de una ruta a otra viven en un espacio llamado paquete de vectores.
Mencioné que la regla (es decir, la conexión) puede ser descrita por un grupo de campos conocidos como campos de indicador. Hay un poco de ambigüedad aquí. Diferentes campos de indicadores pueden describir la misma conexión. (Es lo mismo que si decidiéramos redefinir el dólar para que valga el doble. Todo costaría la mitad, pero luego nuestros ahorros e ingresos se reducirían a la mitad y no haría ninguna diferencia). Esto es un verdadero dolor de cabeza. Tienes que hacer todo tipo de cosas complicadas para asegurarte de no “contar dos veces” porque describiste la misma cosa de dos maneras diferentes. Por ejemplo, la cuantización BRST con sus fantasmas Faddeev – Popov. Cuando estudias la teoría de indicadores, pasas mucho tiempo lidiando con esta ambigüedad. De hecho, los físicos a veces pasan tanto tiempo lidiando con este problema que piensan que la ambigüedad es lo que define la teoría del calibre. Pero esto está poniendo el énfasis en el lugar equivocado. La teoría del indicador se trata principalmente de conexiones.
