¿Qué es la teoría de grupos en matemáticas y su aplicación en física?

La teoría de grupos es una forma de taquigrafía utilizada en química y física para establecer patrones y agrupaciones dentro de un conjunto de objetos (moléculas en química, partículas e interacciones en física) que siguen ciertas reglas de simetría. Para la mayoría de las aplicaciones, por sí solo no conduce a nada nuevo, pero ha habido algunas excepciones notables, el descubrimiento de la simetría SU (3) que caracteriza la fuerza nuclear fuerte (la “Forma Óctuple”) es un ejemplo destacado. Sin embargo, su valor principal es que permite visualizar de manera más efectiva los objetos de interés al colocarlos en un marco unificador y, en combinación con otros métodos matemáticos, ha llevado a contribuciones significativas en varios campos de la física. Está aproximadamente al mismo nivel que el uso de una taxonomía para las formas de vida, ya que permite que un biólogo (o zoólogo o paleontólogo) construya un “árbol de la vida” que permita comprender mejor cómo una especie se relaciona con otra. . En física, el Modelo Estándar (llamado teoría de campo cuántico de calibre) estructura todas las partículas y fuerzas que conocemos (excepto la gravedad) en una representación de grupo triplete conocido como grupo de calibre: U (1) X SU (2) X SU (3), donde U (1) es el grupo unitario de rango 0 (fuerza EM), SU (2) es el grupo unitario especial de rango 1 (fuerza nuclear débil) y, como se mencionó anteriormente, SU (3) es el grupo unitario especial de rango 2. Como conjunto, lo anterior representa las simetrías características de las tres fuerzas y sus respectivas partículas. Las simetrías son exactas, como la neutralidad del color para la fuerza fuerte, o una simetría aproximada, como en la violación CP (conjugación de carga – conservación de la paridad) por la fuerza nuclear débil. Y la gran excepción es el campo de Higgs, que conduce a la masa de partículas a través de la ruptura espontánea de simetría, en una clase en sí misma.

Puedo darte una respuesta a la segunda parte de tu pregunta. La teoría de grupos encuentra su camino en muchas (si no todas) áreas de la física de alguna manera. La física de la materia condensada es una de ellas.

Si observa la naturaleza que nos rodea, se sorprenderá de la cantidad de minerales, metales, materiales diferentes que existen, cada uno con su propia estructura, propiedades, etc. Para alguien que aprendió los conceptos básicos de la teoría de grupos, todo se reduce a Algunos casos diferentes.

Primero comenzamos con una cuadrícula imaginaria o una red de puntos. La idea es encontrar una estructura tal que los puntos imaginarios repitan el mismo patrón en todo el espacio. Esto puede parecer una tarea difícil. Pero podemos usar la simetría, una herramienta poderosa en física, para que sea más fácil. Si toma un solo punto y observa todas las operaciones, como la duplicación, la rotación y la inversión, si desea que un patrón repetitivo sea el espacio, debe haber algunas operaciones que proyecten la red inicial. Estas operaciones se denominan simetrías de puntos y forman un grupo. Por ejemplo, puede tener una estructura que puede rotar 60 ° y sus múltiplos y siempre obtener la misma red: la llamamos red hexagonal. De esta manera, puede encontrar 7 tipos diferentes de redes subyacentes, 7 sistemas de cristal, cada uno con su propio grupo de simetrías.

Esta es solo una idea abstracta, pero podemos ir más allá. En cada una de estas 7 redes puede agregar puntos adicionales. Por ejemplo, si tiene el sistema de celosía cúbica, puede agregar un punto en el centro de cada cubo. La red resultante tendrá algunas de las simetrías de puntos del sistema cristalino, algunas faltarán. Resulta que hay 32 grupos de puntos en total.

A continuación pasamos de lo abstracto a algo más físico. Agregamos átomos en los puntos reticulares abstractos. Puede agregar un solo átomo, o puede agregar múltiples átomos desplazados uno contra el otro en el espacio. Es posible, nuevamente, utilizando la teoría de grupos, deducir el número de posibilidades: existen 230 llamados grupos espaciales, que abarcan todos los cristales posibles (perfectos) que podemos encontrar en la naturaleza.

Ahora bien, esto puede parecer un poco de matemáticas abstractas para clasificar cristales, pero ¿qué tiene de útil para un físico cotidiano? Verá, el grupo espacial del cristal (o una sola molécula para el caso) puede decirle mucho acerca de sus propiedades. Por ejemplo, simplemente deduciendo las operaciones de simetría de algún compuesto, puede encontrar todos los modos de vibración reticular posibles, sus frecuencias relativas, su susceptibilidad a ser inducidos por la radiación electromagnética, etc. También puede hacerlo de otra manera. Encontrar la posición (~ frecuencia) y el número de picos en un espectro Raman puede decirle todo sobre la estructura de la muestra. (El espectro de Raman puede entenderse como una respuesta de la red a la radiación. Los fotones son absorbidos por la red, la red comienza a vibrar y estas vibraciones a su vez crean luz a diferentes frecuencias)

Otra posibilidad de utilizar el grupo de simetrías cristalinas es buscar candidatos potenciales que tengan alguna propiedad. Por ejemplo, los materiales piezoeléctricos (que cambian su forma cuando se aplica electricidad), los materiales ferroeléctricos (que pueden polarizarse, reteniendo parte del campo eléctrico, como los ferromagnetos hacen con el campo magnético) y otros materiales más exóticos solo pueden existir en grupos espaciales específicos. .

La teoría de grupos es el estudio de un tipo de estructura matemática que admite un tipo de multiplicación entre sus miembros: el producto de un par de miembros del grupo debe ser un miembro, y debe haber un inverso para cada miembro, pero la multiplicación es en general no conmutativo: ab no siempre es igual a ba .

Los físicos tienden a centrarse más en las propiedades de la representación grupal, como matrices, que en el grupo abstracto en sí.

Se ha aplicado a operaciones de simetría discreta (como reflexión, rotación de 90 grados, etc.) para clasificar las simetrías de cristales y moléculas; Esto permite calcular, por ejemplo, la intensidad relativa de algunas líneas de transición atómica.

Se ha aplicado al continuo de operaciones tales como rotaciones en el espacio tridimensional y en transformaciones de Lorentz, que están paramerizadas por un rango de variables continuas. Tales grupos se llaman grupos de mentiras.

Se ha aplicado para estudiar la teoría del campo cuántico de la física de partículas elementales; Esta es la base matemática del concepto de quarks.

Si está interesado en estudiar temas como la teoría cuántica de campos, la teoría de cuerdas y otros, diría que es uno de los temas más importantes para comprender bien, cuanto más profundo mejor, ¡porque el formalismo se usa ampliamente para efectos muy poderosos! ¡Es un gran problema! 🙂

Recuerdo vagamente esa rama de las matemáticas. Grupos, anillos y campos describen sistemas que tienen un cierto tipo de ley que describe cómo funcionan.

Aplicación: No hice ninguna en Física, pero en Química, la teoría de grupos se aplicó a las moléculas, como las moléculas orgánicas. Mirar la forma y la simetría o de otra manera podría determinar las transiciones permitidas y prohibidas que aparecerían en diferentes tipos de espectros, como los espectros Raman. Eso fue hace mucho tiempo, y no uso ese conocimiento ahora, pero fue bastante fácil e ingenioso aplicarlo a una idea de mundo real.

La teoría de grupos es una rama del álgebra que se refiere al estudio de la estructura algebraica conocida como grupo. Estos estudios abarcan las propiedades combinatorias, algebraicas y geométricas de los grupos. La teoría de grupos se utiliza en la teoría de cuerdas y en la relatividad general y especial, por ejemplo: grupos de mentiras, grupos de Lorentz.