¿Existen números irracionales? Específicamente, si elegimos unidades fundamentales basadas en constantes fundamentales (la velocidad de la luz, el número de electrones), ¿existen físicamente números irracionales? ¿Hay un número irracional de algo en el universo?

Obviamente, sería imposible medir un número irracional: tendría que determinar experimentalmente un número con un número infinito de dígitos que tomaría una eternidad y sería imposible.

Entonces, lo mejor que podríamos hacer es tener una teoría que haga una predicción de que alguna proporción de dos cosas medibles es un número irracional. Por ejemplo, si [math] m_p [/ math] es la masa del protón y [math] m_e [/ math] es la masa del electrón y si tenemos una teoría que dice que:

[matemáticas] \ frac {m_p} {m_e} \ equiv 6 \ pi ^ 5 [/ matemáticas]

(Por cierto, ¡numéricamente esto es cierto para 5 cifras significativas! – ver ((protón / electrón de masa) – (6 * pi ^ 5)) / (6 * pi ^ 5) – Wolfram | Alpha )

entonces, diría que hay números irracionales (y de hecho trascendentales) en nuestro mundo, ya que la proporción de estas dos masas sería irracional si pudieran medirse con una precisión infinita.

Por supuesto, solo puede decir esto si tiene confianza en su teoría. Siempre podemos reunir más y más evidencia a favor de la validez de nuestra teoría, pero siempre existe la posibilidad de que nuestra teoría pueda estar equivocada y de que se encuentre alguna discrepancia y que necesitemos hacer una nueva teoría. Pero eso es lo más cerca que podemos llegar a decir definitivamente que existen números irracionales, en mi opinión.

Por cierto, no conozco ninguna teoría que haga una predicción a una precisión infinita diciendo que alguna proporción de cantidades medibles es irracional.

La pregunta es ” ¿Existen números irracionales? ” Pero a partir de los detalles parece que hay dos preguntas que se hacen.

1. ¿Hay cosas como números irracionales? Esto depende, por supuesto, de lo que uno entiende por “hay” o “existe” en matemáticas. Claramente, desde la teoría de los números reales, existen cosas como números irracionales si consideramos que las entidades de un sistema axiomático consistente existen. ¿Pero tales sistemas definen objetos reales? Parece obvio que no definen objetos concretos; el número ‘dos’, por ejemplo, no es ‘dos ​​objetos’. Una visión en matemáticas es el platonismo: las matemáticas definen objetos “abstractos” o “ideales” que residen en un mundo abstracto o platónico. ¿Es ese mundo real? Eso es lo que dice el platonismo: existe un mundo así y su contenido incluye los objetos matemáticos. ¿Pero es cierto el platonismo? Si el mundo (universo) está compuesto solo de detalles concretos, entonces el platonismo no es cierto, pero algunos pensadores piensan en los objetos abstractos como colecciones, propiedades, etc., pero estos no son detalles concretos. Un problema con esta objeción es que, dado que los objetos que conocemos incluso a través de nuestros sentidos son una especie de abstracciones, la distinción “concreta” – “abstracta” es cuestionable. Por otro lado, si admitimos clases de ideas suficientemente amplias como la definición de objetos reales, entonces los objetos matemáticos son reales, y en particular los irracionales también son reales. Existe un consenso moderno de que los objetos abstractos son reales; que son diferentes de los objetos concretos; pero que no está claro qué son o dónde residen. Claramente, la visión moderna “real” debería ser que la pregunta es al menos algo abierta. Pero, ¿por qué muchos matemáticos y filósofos se suscriben al platonismo? Parece ser debido a la aparente definición de las matemáticas, a la existencia de la intuición matemática, a la belleza matemática, a la sensación de que las matemáticas se descubren en lugar de crearse, y tal vez incluso debido a los teoremas de incompletitud de Gödel. Pero, ¿no deberían los teoremas de Gödel hacernos dudar de la existencia de objetos matemáticos? Quizás, pero otro punto de vista es que los teoremas nos hacen dudar de nuestra capacidad para capturar las matemáticas y, por lo tanto, sugieren que hay algo real que capturar. ¿Se descubren las matemáticas? Mi respuesta es que al descubrir las matemáticas creamos conceptos matemáticos; Esto es similar a la ciencia natural donde, para descubrir el mundo, creamos teorías y conceptos. Dado que los objetos matemáticos tienen una necesidad que los objetos concretos no tienen, incluso un ser omnipotente, si hubiera uno, podría crear objetos concretos pero no objetos matemáticos (esto no sería una limitación de la omnipotencia: ‘incapacidad’ para cambiar la verdad necesaria no es un límite de poder). ¿Podemos tener una conclusión final sobre el platonismo? Si el universo es el ‘universo lógico’, es decir, si para el sistema de conceptos ‘más grande’ que no viola la lógica, hay un objeto, entonces el platonismo debe obtenerse. Con respecto al universo lógico, aquí hay un enlace que es, con disculpas, una lectura no muy fácil: Metafísica y ser.
2. ¿Hay cantidades físicas cuyos valores son números irracionales? La respuesta obvia, porque toda medición es imprecisa, ¡ no ! Sin embargo, la respuesta obvia no es necesariamente correcta y al menos debería estar sujeta a análisis. (1) ¿Hay una cantidad física cuyo valor es exactamente 2? Por supuesto, podemos definir una cantidad base (una unidad) como 1. Pero si medimos otra cantidad, encontraríamos que es 2.0 o 2.0000000000000000 pero no precisamente 2. ¿Qué pasaría si definiéramos la base como la raíz cuadrada de 2? ? Incluso eso no tendría el significado de la expansión decimal interminable porque la cantidad unitaria podría no tener un valor preciso. Parece que la afirmación correcta es que no tiene importancia decir que el valor de alguna cantidad física es precisamente cualquier número, ya sea racional o irracional. Sin embargo, en el universo lógico definido anteriormente, si de hecho se obtiene, habría algo más que nuestra física y en algunas de esas cantidades físicas físicas (plural) irracionales tendrían importancia. Pero el ‘si’ es un GRAN SI .

[matemáticas] \ pi [/ matemáticas] es irracional.

Puede que no parezca una constante ‘física’, pero aparece en todas partes en física; de hecho, una vez (antes de que las personas encontraran conexiones algebraicas con él), era una constante física, definida solo como la razón de la circunferencia al diámetro de un círculo.

Los números irracionales (como muchos otros conceptos matemáticos) son intrínsecos a la forma en que hemos construido nuestros números. Y los números son mucho más fundamentales que los valores de las constantes físicas, ya que estas constantes surgen debido a la construcción matemática de una teoría física, y los números son fundamentales para esta construcción matemática.

Este es un juego de lenguaje y no tiene nada que ver con las matemáticas. Hasta que defina “existir”, la pregunta no tiene respuesta. Al final, la respuesta depende de si crees que las matemáticas expresan una realidad propia, o si la única realidad es la que experimentas a través de tus sentidos.

Creo que todos estamos de acuerdo con los fundamentos aquí, por ejemplo, que las mediciones físicas son finitas y, en el mejor de los casos, racionales, pero en la medida en que la medición se cuantifica, en realidad es solo un múltiplo entero del cuanto.

Entonces, si crees que la única realidad es lo que puedes percibir con tus sentidos, entonces solo existen enteros. (Usted no percibe la longitud de la diagonal de una unidad cuadrada, solo percibe que tiene una longitud. Solo la medición revela cuál es esa longitud). Si crees que las matemáticas expresan una realidad propia, entonces existen números irracionales e incluso cosas más extrañas. Pero de nuevo, la respuesta viene directamente de cómo define “existir”.

Respuesta general:
La matemática es abstracta y no depende de nada físico. Los números irracionales como una abstracción matemática obviamente existen en las matemáticas. La física trata de construir un modelo matemático del universo, pero la mayoría de las veces es una aproximación y no es exacta. Aunque la justificación de los números reales (que incluyen números irracionales) en física puede debatirse, generalmente es un buen concepto útil.

Mi punto de vista personal:
Para calcular cualquier cosa en los modelos físicos existentes, todo lo que necesita son números enteros, ya que eso es lo que necesita una computadora. El hecho es que cualquier parámetro continuo asumido puede no ser continuo a una escala muy pequeña, pero eso puede pasarse por alto como aproximación a menos que nos preocupemos por una precisión extrema.

Todos los números son imaginarios: inventados.

El conteo es algo que hacen los humanos (aunque podemos hacer máquinas que emulen el proceso hasta un límite de almacenamiento determinado, al que también estamos sujetos a fines prácticos), y se inventaron “números enteros” para hacer este trabajo.

Desde entonces se han inventado otros tipos de números para hacer ciertos trabajos, pero todos tienen una cosa en común: son todas abstracciones. Los números no existen en el sentido de que existen árboles, gatos, montañas y nubes. Los números solo existen en un sentido abstracto , al igual que los conjuntos matemáticos, las reglas lógicas, los colores (que modelan nuestras percepciones de la estimulación electromagnética de las células cónicas en nuestras retinas, dentro de un ancho de banda muy estrecho), y la idea detrás de cualquier agrupación de cosas físicas. .

En este sentido abstracto, debido a que pueden definirse de manera consistente, los números irracionales ciertamente existen.

El error que lleva a la pregunta que se hace es que las matemáticas están de alguna manera ligadas a la física.

Finalmente, cualquier cosa que hagamos en física debe reducirse a una medida . La mayoría de las veces, las mediciones se presentan usando números, porque son una abstracción conveniente (¡y no es sorprendente, ya que se inventaron para ser así!). Además, la mayoría de las mediciones en realidad no nos dan números sino distribuciones (que son otra abstracción construida en el mundo de los números). Si reconocemos que lo que obtenemos de las mediciones son distribuciones, la pregunta desde este otro ángulo también pierde algún significado.

Pero eso es lo que he dicho sobre cómo podemos percibir las cosas. ¿Qué pasa con la realidad que es , independientemente de cómo la modelemos? Supongamos que todo se cuantifica en el nivel más profundo; entonces todas las cantidades derivadas deben ser racionales, lo que significa que no hay un número irracional (o cantidad) de nada.

Quizás sea así, pero eso responde a una pregunta diferente. O tal vez la pregunta formulada no era como se pretendía, al menos, no del todo.

En última instancia, uno se da cuenta de que los modelos siempre están equivocados, aunque pueden ser útiles. Pueden contener más información de la necesaria para hacer el trabajo, o pueden no tener espacio para describir suficientemente bien el tema deseado. En cualquier caso, los elementos del modelo son independientes del sujeto del modelo mismo.

Desde este punto de vista, existen números irracionales en matemáticas, independientemente de cómo se apliquen las matemáticas a los sistemas físicos. ¿En cuanto a lo que realmente está pasando “bajo el capó”, más allá de nuestros mejores modelos de realidad? Realmente no sabemos y no podemos hacer más que especular, por muy útil que pueda ser la especulación. Es por eso que nuestros modelos, por buenos que sean, están equivocados. Por eso son modelos, y no la realidad misma.

Los números irracionales surgen de las medidas físicas cuando intentamos expresar una medida en términos de otra. Cabe esperar que las constantes fundamentales sean irracionales cuando las expresamos en términos de otras medidas.

Por ejemplo, podría esperarse que la carga elemental (la carga de un electrón) sea irracional, porque la estamos definiendo en términos de culombios y segundos, dos unidades de medida básicamente no relacionadas (por lo que podemos decir).

Los culombios se definen en términos de amperios y segundos; los amperios se definen en términos de la fuerza entre cables paralelos; La fuerza usa la definición de masa, y la masa se define en términos de una masa estándar celebrada en Francia, ¿creería usted?

En última instancia, podría haber alguna conexión oculta entre todas estas unidades. Una masa física, después de todo, debe consistir en un número entero de partículas fundamentales. Pero la naturaleza de esta conexión oculta podría implicar números irracionales, ya que incluso los números “simples” como pi y la raíz cuadrada de dos son irracionales.

Esto no es más misterioso que el hecho de que su altura en metros sería irracional, si asumiéramos que podría medirse con una precisión infinita. Su altura es lo que es, pero si tratamos de expresarla en términos de otra longitud arbitraria, como el metro, terminaríamos con una medición infinitamente precisa (irracional).

En la práctica, por supuesto, nunca podemos medir con precisión un número irracional en la naturaleza. Los números irracionales surgen de los cálculos; a menudo se puede demostrar que un número (como pi) es irracional, pero nunca podemos escribir ese número completamente en ningún sistema de números (a menos que ese sistema de números se base en el número irracional mismo). Solo podemos representarlo como un símbolo.

Así que al final nos quedan preguntas como “¿hay realmente un número infinito de puntos entre otros dos puntos en el espacio?” Si la respuesta es sí, se podría decir que los números irracionales, en cierto sentido, “existen” en la naturaleza . Si no, no pueden.

Se ha señalado que todas las mediciones que realizamos consisten en una secuencia finita de operaciones; a partir de ahí inferimos la “existencia” en la naturaleza de cantidades infinitamente precisas. Por lo tanto, no está nada claro que realmente existan en ningún sentido físico real.

Nuestras mentes reúnen un concepto de espacio para nosotros que claramente no puede corresponder completamente a nada “real”; no podemos concebir directamente un fin al espacio, ni podemos concebir una cantidad infinita de espacio. Por lo tanto, no está nada claro que nuestra intuición acerca de que el espacio sea infinitamente divisible sea correcta, incluso dejando de lado la mecánica cuántica.

Tampoco parece plausible que el espacio se cuantifique de la manera más simple que podamos imaginar; no parece plausible que el espacio consista en una serie de pequeñas cajas apiladas una al lado de la otra (aunque curiosamente, Heisenberg una vez comenzó a intentar derivar una teoría de la física basada en esta idea).

Los límites de tales cajas representarían un estándar de movimiento absoluto que, gracias a la relatividad, no creemos que exista.

Entonces, si el espacio no es infinitamente divisible, necesitamos alguna teoría para describir el verdadero estado de cosas que relaciona nuestras mediciones reales con nuestro concepto de espacio. Hasta ahora, ni los físicos ni los matemáticos ni los filósofos han progresado mucho en esta dirección; La ciencia de la mecánica cuántica hasta ahora no ha podido decirnos cómo nuestras mediciones macroscópicas están conectadas a las mediciones a escala cuántica.

El matemático Doron Zeilberger: “Todo se puede reducir a manipulaciones con un conjunto (¡finito!) De símbolos”.

Opinión 146 de Doron Zeilberger

En realidad, no podemos probar o refutar que existen. Podemos usar un sistema de números que incluya solo números racionales u otro sistema de números que incluya todos los números reales. Puede pensar que se puede probar que existen números irracionales porque el teorema de Pitágoras muestra que la longitud de la diagonal de un cuadrado unitario es la raíz cuadrada de 2 y se puede demostrar que la raíz cuadrada de 2 es irracional. En realidad, solo se puede probar bajo el supuesto de que todos los números reales existen y que existe una manera de definir la distancia de tal manera que las propiedades intuitivas de la distancia se mantengan. Esto se debe a que si solo existen números racionales, entonces existen números cuyo cuadrado es arbitrariamente cercano a 2, pero no hay ningún número cuyo cuadrado sea exactamente 2. Si solo existen números racionales, suponiendo que el plano pueda describirse mediante pares ordenados de números racionales, no existe tal forma de definir la distancia entre dos puntos cualesquiera en el plano. Del número irracional, se puede deducir que los griegos inventaron magnitudes para describir distancias para las que no había un número racional. En una página web leí que ya no puedo encontrar, los números racionales se llamaron cantidades y los números irracionales se llamaron magnitudes, luego, dejaron de llamarse magnitudes y finalmente dijimos que todos los números reales eran números. Aunque los números reales se inventaron para completar los cortes dedekind de los números racionales, se puede demostrar que también completan todos los cortes de deking de los números reales. Cualquier sistema de números hiperreal, por otro lado, tiene cortes dedekind sin un número para llenarlo porque uno de esos cortes dedekind es el conjunto de todos los números más que infinitesimalmente más que 0. Si inventa más números para completar esos cortes de Dekind, se llena todo los cortes dedekind del sistema numérico pero todavía habrá cortes dedekind sin llenar del nuevo sistema. Siga haciendo lo mismo ω veces y el nuevo sistema de números seguirá teniendo cortes dedekind sin completar. Eso es similar a la paradoja de Burali-Forti. Tome el conjunto de todos los números que se pueden obtener al caer en los cortes dededekind cualquier número ordinal de veces. Entonces podemos derivar la contradicción de que todavía hay algunos recortes dedekind sin llenar que podemos llenar para obtener un sistema de números más grande. La paradoja se puede resolver mediante la introducción de clases adecuadas. Entonces podemos decir que la clase de todos los números que se pueden obtener al completar la dedekind reduce cualquier número ordinal de veces. Se llama el sistema numérico surrealista. Dado que el sistema numérico surrealista es una clase adecuada y no un conjunto, tiene sentido que no podamos completar todos sus cortes de Dedekind para obtener otra clase. No existe ningún número en los límites de esos cortes de Dedekind para inventar. Sin embargo, un sistema de números hiperreal tiene la propiedad de que para cualquier corte de Dedekind tal que pueda tomar un número dentro del corte y un número fuera del corte para estar arbitrariamente cerca, hay un número en ese sistema en el límite del corte.

Los números irracionales son una realidad, a pesar de que no podemos comprenderlo.

Tomemos, por ejemplo, la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con la base y la altitud de 1 unidad de longitud. La longitud de la hipotenusa de este triángulo es la raíz cuadrada 2. Aunque con precisión arbitraria no podemos obtener la longitud real de este lado, es real y existente.

Esta paradoja de infinitos también se manifiesta en las paradojas de Zenón. Zenón fue un filósofo griego que propuso un conjunto de preguntas abiertas interrelacionadas. Todas estas paradojas estaban relacionadas con la suma de infinitos de una forma u otra.

Numberphile en realidad hizo un video sobre la paradoja de Zenón.

Si.

Me explicaré yo mismo. No conocemos NINGUNA constante física con precisión infinita, lo que requeriría una precisión infinita en los experimentos, imposible.

Por ejemplo, conocemos G con solo unos pocos dígitos de precisión. Por lo tanto, podemos presumir que es irracional. Tal vez no lo sea, tal vez lo sea. Incluso si lograste definir la constante usando otros, tiene que haber algunas constantes físicas fundamentales para las que solo tenemos un montón de dígitos.

Pero, ¿por qué G tiene ese valor y no otro? Podemos decir que tiene el valor compatible con la vida en este Universo.

¿Es un problema que alguna de las constantes físicas pueda ser, de hecho, irracional? Realmente no. En realidad, eso tendría sentido siempre que no se pueda medir un número irracional con precisión infinita. Sin embargo, puede escribir una fórmula que le permita calcular ese número en pasos infinitos.

Un problema diferente son los números inconmensurables que no permiten tal posibilidad. Échales un vistazo si estás interesado.

¿Podemos algún día escribir fórmulas para las constantes físicas? … Quién sabe. Lo mejor que podemos hacer en este momento es tratar de aumentar la precisión en los experimentos.

Para los números racionales, el jurado puede resolver, con respecto a las mediciones -> efecto Hall cuántico fraccional o fraccionalización
, por el cual cantidades similares a enteros (cargas eléctricas fundamentales o componentes) ” dan lugar a ” cantidades fraccionales / racionales (cargas eléctricas fraccionales o cuasi partículas).

Aquí hay una buena discusión, con respecto a los números irracionales, -> Física irracional, … Pero el estado de energía más bajo depende de la relación A / B. Específicamente, depende de si A / B es “casi racional” o si es “suficientemente irracional” …

y otro hilo de discusión similar aquí: ¿Hay algún fenómeno en física que sea sensible a los números irracionales?

En mi opinión, no puede responder seriamente a una pregunta como esa sin especificar de alguna manera lo que significa el predicado “existe”.

En mi opinión, las matemáticas son un lenguaje (junto con una cultura basada en él) para la especificación acordada y la solución de problemas.

Por lo tanto, las matemáticas, en mi opinión, no requieren números, e. G. Existir en un sentido objetivo, como algunas personas dicen que el monte Everest existe.

lo que las matemáticas requieren no es más que la definibilidad y la usabilidad en el contexto de la especificación y solución del problema

Si no se requiere más que eso, no se debe solicitar nada más, como lo sugiere la navaja de afeitar de Occam. Tal vez valga la pena señalar que preguntas como la que estoy respondiendo ahora, en sentido estricto, no son de naturaleza matemática sino filosófica.

En mi opinión, a los hombres no se les da acceso a cómo son realmente las cosas. Todo lo que somos capaces de hacer es crear teorías, probarlas y, si es necesario, mejorarlas. Si lo piensas, no se necesita nada más que eso. Además, podría darse el caso de que nada más que esta habilidad sea posible: la conjetura de reconstrucción trata de extrapolar el conocimiento sobre los subobjetos de un objeto a ese mismo objeto. Es bien sabido que la conjetura de reconstrucción no es válida para algunos tipos de objetos. Si no es cierto con respecto al mundo físico, entonces el conocimiento completo sobre el mundo solo es posible si lo sabes todo. Sin embargo, ese no es el caso ahora. Por lo tanto, por ahora, todo lo que podemos decir y, a menudo, debemos recordarlo, es lo humilde, sabemos que no lo sabemos.

En realidad, como podría demostrarse con relativa facilidad, los conceptos y teorías científicas emergen y evolucionan. El autor único que, que yo sepa, ha contribuido más al debate sobre qué es la ciencia fue el médico polaco Ludwick Fleck. Sin embargo, me sorprendería bastante si el trabajo de Thomas Kuhn fuera demasiado diferente del de Fleck en el sentido en cuestión en este momento.

Los números, en particular los irracionales, existen en el sentido de que son útiles y construcciones suficientemente bien puestas. Eso es todo lo que podemos esperar saber. Y eso es suficiente para saber.

Bien, voy a proporcionar una idea sobre el vínculo entre el mundo y las Matemáticas – Medición.

Tome el triángulo rectángulo pitagórico con lados unitarios, por ejemplo: la hipotenusa será [matemática] \ sqrt {2} [/ matemática]

Eso es matemática.

Dibujando un triángulo rectángulo con 1 cm como la altura y la base, procedemos a verificar si coincide con las matemáticas.

Ahora suponga que mide la hipotenusa con una escala en centímetros: obtiene 1,4 cm.

Ahora tome una escala que pueda medir esto hasta un milímetro: obtiene 1.4 cm + 1 mm = 1.41 cm

Esto se trata de precisión de medición.

Usted va a precisiones cada vez más altas, la longitud medida experimentalmente tenderá hacia el valor calculado matemáticamente.

¡Eso significa que existen números irracionales!

En el mismo sentido que los enteros.

[matemáticas] \ sqrt {2} = 1.41421 \ cdots [/ matemáticas]

Ahora llegando a su punto – Usamos números para aproximar la realidad – No significa que los números existan por sí mismos.

¿Por qué debería haber un problema con tener números irracionales si no tienes nada que decir contra los números naturales?

La fuerza entre dos cargas en el vacío separadas por la distancia [matemáticas] r [/ matemáticas] viene dada por esta fórmula: [matemáticas] F = \ frac {1} {4 \ pi \ epsilon_ {0}} \ frac {q_ {1 } q_ {2}} {r ^ 2} [/ matemáticas]

Tenga en cuenta la [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] aquí?

El período de tiempo de un péndulo es [matemática] T = 2 \ pi \ sqrt {\ frac {L} {g}} [/ matemática]

Los números solo como un artefacto de contar ya no están allí.

El conteo es solo un subconjunto de medidas.

Todo se reduce a lo que funciona.

Los números funcionan – Los números irracionales – los números racionales – Los números negativos – todo – son útiles para resumir diferentes aspectos de nuestro mundo.

Más allá de eso no se puede decir nada.

¿Por qué crees que existen los números?

Si pongo una secuencia de estados altos y bajos en una computadora, o hago algunas marcas en un pedazo de papel, podríamos llamar a estas cosas números. Hago mucho de esto a diario, pero llamo a la mayoría de ellas variables y constantes y las formo con letras.

No creo que los números tengan una existencia física, como números sin una estructura física, como usted, para hacer este tipo de identificación y nombrarlo. A lo que me refiero es a esto: un número, y todas las matemáticas también, es subjetivo.

Bueno, podemos aprender sobre cosas extrañas como el conjunto de Mandelbrot. Este conjunto tiene una definición simple pero es infinitamente detallado, más allá de la capacidad de cualquier mente para darse cuenta. Sin embargo, es reproducible e inmutable. Cualquiera que lo estudie de cualquier cantidad de procesos de cálculo diferentes verá el mismo objeto. Tiene una existencia objetiva. Es una bestia del mundo de los números irracionales. Si acepta este conjunto como real; entonces también lo son los irracionales. Es real en la medida en que existe una lógica. Si la lógica es un producto de la evolución, entonces es parte de la naturaleza. Presumiblemente, podría ser posible que alguien antes de que Mandelbrot descubriera este ‘objeto’ antes que él, esto le da un tipo de existencia antes de que alguien a quien quieras nombrar aparezca y lo encuentre. La historia de las matemáticas está llena de redescubrimientos en diferentes momentos en diferentes lugares de diferentes culturas, por lo que los irracionales son reales, estaban esperando ser encontrados, por lo que no necesitamos humanos para que existan.

He estado pensando mucho en esto últimamente, y no tengo una respuesta experta, pero puedo proporcionar una perspectiva diferente al respecto.

Primero, los números irracionales son inconmensurables, lo que puede ser muy perturbador cuando se trata de reducir todas las matemáticas a una comprensión geométrica. Es mi creencia (pero si estoy equivocado, alguien hágamelo saber) que no puede usar los números racionales en la línea numérica para generar números irracionales, a menos que haya utilizado otra línea numérica que se extienda en una dirección diferente … Esto nuevamente proviene de los números son inconmensurables, a menos que tal vez sea posible comparar más de 2 números para generarlos … No lo sé. Simplemente parece restrictivo en cierto sentido definir propiedades conmensurables solo comparando 2 números, pero de todos modos estoy divagando.

Los números irracionales aparecen cuando se utiliza un espacio de mayor dimensión. O al menos este es un ejemplo de cómo pueden aparecer. El uso del teorema de Pitágoras o la ley de los cosenos es un ejemplo de esto, que requiere una extensión adicional en un nuevo directon linealmente independiente (o si lo prefiere, las áreas relacionadas con las longitudes). Ahora puede crear valores que antes no eran familiares, como la raíz cuadrada de 2.

Dada esta idea, me gustaría suponer que los números irracionales realmente solo existen para que los números de dimensiones superiores (área y volumen en comparación con la longitud, por ejemplo) puedan ser conmensurables en su propio espacio … Es como la medida en que algo es continuo en menor las dimensiones se deben a la cantidad de dimensiones superiores y al tipo de matemática que podría realizarse de manera consistente y familiar en esas dimensiones superiores.

Esto es cómodo de imaginar, porque uno podría ver fácilmente que si existieran discontinuidades en dimensiones más bajas, se agravarían mucho en dimensiones más altas (por cierto, es irónico que las dimensiones en un nivel fundamental solo signifiquen cuántos números son necesarios para adjuntar a una ubicación para que pueda abarcar el espacio, lo que me inclina a preguntarme una vez más acerca de cómo se buscan propiedades conmensurables si solo requieren 2 números …)

En conclusión, si le resulta familiar creer que un “sistema” más simple puede verse obligado a comportarse de manera más continua debido a un “sistema” más grande que lo restringe y lo contiene, entonces sí necesariamente. Por supuesto, esta no es una respuesta irrefutable de un estudio académico riguroso, es solo algo para pensar.

Si. La raíz cuadrada de todos los números enteros positivos no cuadrados es irracional. Lo que significa que no se puede representar como la razón de un número entero con otro.

Para probarlo, suponga que hay un número entero positivo no cuadrado que tiene una raíz cuadrada racional.

sqrt (n) = a / b

reorganizar para hacer:

n. b ^ 2 = a ^ 2

Un número es cuadrado si y solo si todos sus factores están en proporción par.

Por ejemplo:

6 = 2. 3 (no cuadrado)

12 = 2. 2) 3 (no cuadrado)

18 = 2. 3) 3 (no cuadrado)

36 = 2. 2) 3) 3 (es cuadrado)

Por lo tanto, al multiplicar un número no cuadrado por un número cuadrado, usted garantiza que al menos uno de sus factores primos está en proporción impar.

Por lo tanto, nuestra suposición debe estar equivocada y sqrt (n) debe ser irracional.

No, pero tampoco hay un número racional (denominador> 1) de nada en el universo. Estás confundiendo la medición (que es inherentemente imprecisa) con el conteo (que solo da números naturales).