Esto es un poco largo. Trataré de cubrir
- alguna motivación para el hamiltoniano
- una descripción aproximada de lo que es
- cuáles son las reglas sobre cómo usarlo
- algo de lo que nos dice sobre mecánica.
Si toma un curso introductorio de física, aprenderá a analizar algunos escenarios de física simples.
Para que una bola se deslice por un avión, usas la gravedad y las fuerzas normales. Si la pelota está rodando, también usas fricción. Una masa en un resorte termina oscilando. Un péndulo es similar, pero el movimiento resulta ser un resorte solo para ángulos pequeños.
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Luego, si continúas, aprenderás sobre fenómenos más interesantes y diversos. Puede analizar el movimiento de un asteroide que cae y gira mientras orbita alrededor del sol, su centro de masa traza una sección cónica. Existe la propagación de ondas, el movimiento de fluidos, fenómenos electromagnéticos y todo el dominio del cuanto.
Resulta que, aunque las descripciones de cada área de física son bastante diferentes, podemos encontrar formas en que cada sistema básicamente está haciendo lo mismo. Esa cosa está evolucionando bajo un hamiltoniano. Al estudiar los hamiltonianos, encontramos algunos principios subyacentes comunes a muchos escenarios de física diferentes. En lo que me centraré aquí se llama “conservación de la información”, o más grandiosamente, “conservación del volumen del espacio de fases”.
(También hay otras formas además del método hamiltoniano de describir diversos sistemas mecánicos en un solo marco, pero los ignoraremos aquí).
Primero, necesitamos una manera de describir el estado de un sistema. Hacemos esto identificando cuántos grados de libertad tiene el sistema, cuántas maneras diferentes puede moverse. Por ejemplo, un punto tiene tres grados de libertad porque puede moverse en tres dimensiones. Dos puntos tienen seis grados de libertad. Dos puntos conectados por una línea tienen cinco; la línea quita uno al proporcionar una restricción.
Una vez que identificamos el número de grados de libertad, elegimos una variable para cada grado de libertad. Estos se llaman “coordenadas” o “posiciones”, aunque no tienen que ser literalmente longitudes. (Podrían ser un ángulo, por ejemplo).
Una vez que se identifican las posiciones, cada posición recibe un “momento conjugado”. Esto se hace de acuerdo con una regla matemática a la que no llegaremos. La razón por la que necesitamos esto es porque queremos especificar todo lo que necesita saber para predecir lo que sucederá después, y solo saber la posición no es suficiente. Este tipo está bien si el globo de agua se le va. Si se dirige hacia él, puede estar en problemas. Entonces, también necesitamos conocer el movimiento de los diversos grados de libertad. Eso es lo que hacen los momentos conjugados.
Ahora que tenemos una descripción completa del sistema (a saber: una lista de las posiciones y momentos, que se llama su estado), el objetivo de la física es descubrir qué sucederá a continuación. ¿Cuál será el estado en el futuro?
Para hacer eso, necesitamos dos cosas
- Una descripción de la física en curso: ¿qué está interactuando con qué más y qué tipo de interacción es?
- Una descripción de cómo funciona la física en general. Dadas las leyes de interacción, ¿cómo averiguamos qué sucederá?
El primer punto cambia de una situación a otra. Las diferencias en las interacciones que se producen son las que dan lugar a las diferencias entre una masa en un manantial y un planeta en órbita.
El hamiltoniano es una descripción concisa del contenido de este primer punto. Dada una situación física, puede definir una función llamada Hamiltoniana que tenga en cuenta todos los detalles especiales de cómo funciona.
El segundo punto es el mismo en diferentes situaciones. Está descrito por las leyes de la mecánica hamiltoniana. Comprender estas leyes nos da una comprensión de los patrones generales detrás de cómo funcionan las diferentes situaciones físicas.
No tengo mucho más que decir sobre lo que es el hamiltoniano; Trataré de concentrarme en lo que dicen las leyes para el resto de esta respuesta. El Hamiltoniano en sí mismo puede ser muy diferente en diferentes circunstancias. Es una función cuya entrada es el estado, la lista de posiciones y momentos, y cuya salida es un solo número real. (El hamiltoniano también puede depender del tiempo, pero en esta respuesta supondré que no.) En muchos casos, el hamiltoniano es igual a la energía del sistema, como señaló Anthony Foster, pero esto no es una tarea difícil. -Rápida regla.
Antes de que podamos examinar lo que dicen las reglas generales, veremos la imagen que los físicos usan para visualizar el estado. Esta imagen se llama espacio de fase. Para simplificar, imaginamos que solo hay una coordenada y un momento. Luego colocamos la coordenada en el eje xy el momento en el eje y. Cada posible estado del sistema corresponde a un solo punto.
A continuación, dejamos que el tiempo avance. Mientras lo hace, el estado del sistema cambia. Se mueve, recogiendo o perdiendo impulso. El punto único en el espacio de fase se convierte en una línea curva en el espacio de fase, llamada trayectoria u órbita.
Para visualizar todo el espacio de fase, podemos pensar en todas las diferentes órbitas posibles en él. Dependiendo de dónde comience en el espacio de fase, evolucionará de diferentes maneras, por lo que el espacio de fase tiene muchas trayectorias diferentes.
Aquí hay una imagen del espacio de fase para un péndulo simple con un brazo rígido. Esto solo tiene un grado de libertad porque todo lo que puede hacer es girar. La coordenada que usamos para describir es el ángulo total a través del cual se ha girado el péndulo. (Esto se vuelve negativo si el péndulo cambia de dirección.) El momento conjugado es el momento angular del péndulo.
Las formas de círculo rojo-ish representan el péndulo yendo y viniendo. Mientras el péndulo no tenga demasiada energía, seguirá volviendo al mismo estado una y otra vez. Mientras lo hace, va en este tipo de círculo. No es un círculo perfecto porque el péndulo no es un oscilador armónico perfecto.
Las líneas azules indican cuándo el péndulo tiene tanta energía que se balancea sobre la parte superior. Luego, el ángulo por el que gira solo aumenta indefinidamente y el impulso nunca cambia de positivo a negativo. Las líneas azules en la parte inferior representan girar en la dirección opuesta a las líneas azules en la parte superior.
Otra forma de ver el espacio de fase es mirar el valor del hamiltoniano en cada punto. En la última imagen, trazamos las trayectorias que seguirán las partículas. Todavía no sabemos cómo encontrar esas trayectorias. Pero imagina que conocemos al hamiltoniano. Entonces, lo primero que podemos hacer es hacer un mapa que muestre el valor del Hamiltoniano en cada punto del espacio de fases. Para el oscilador armónico, ese mapa se ve así:
El color indica el valor del hamiltoniano. Más rojo es un valor más bajo. Más verde es un valor más alto. Las líneas no se dibujan como trayectorias, sino como contornos del hamiltoniano. Conectan puntos en el espacio de fase donde el valor del hamiltoniano es el mismo. Es una coincidencia interesante que las líneas en ambas imágenes se vean iguales.
A continuación, te daré la regla sobre cómo pasar de conocer al hamiltoniano a descubrir cómo son las trayectorias.
Suelta un punto en cualquier parte del espacio de fase. Imagine que el espacio de fase es un terreno montañoso, por lo que en cualquier punto el suelo debajo de usted está inclinado de alguna manera divertida.
Mire hacia adelante y mida la pendiente en esa dirección. Por muy empinada que sea, tome tantos pasos a la derecha. (por ejemplo, si la pendiente en línea recta es 2, siga los pasos a la derecha).
A continuación, mire a la derecha. Por muy empinada que sea la pendiente, da tantos pasos hacia atrás. Ahora estás en el siguiente punto en el espacio de fase. Repita este proceso una y otra vez y obtendrá las trayectorias del espacio de fase.
Algo interesante sucede con esta regla. Imaginemos que la pendiente recta hacia adelante es 2 y la pendiente hacia la derecha es 5. Luego das dos pasos hacia la derecha y cinco hacia atrás.
Tus dos pasos a la derecha, multiplicados por la pendiente de 5 a la derecha, te llevan diez pasos más arriba. El Hamiltoniano aumenta en 10. Sin embargo, sus cinco pasos hacia atrás, multiplicados por una pendiente de -2 a medida que avanza hacia atrás (la pendiente que va hacia atrás es lo opuesto a la pendiente que va hacia adelante) lo lleva por diez pasos hacia abajo. Entonces el hamiltoniano disminuye en diez.
En general, el hamiltoniano no cambia de un momento a otro. Entonces, con esta regla, resulta que las trayectorias en el espacio de fase son exactamente lo mismo que los contornos del hamiltoniano.
(Esto fracasaría si el hamiltoniano dependiera del tiempo, por supuesto, porque mientras te movías, el paisaje cambiaría debajo de ti, pero estamos ignorando esta posibilidad).
Esto significa que el hamiltoniano es una cantidad conservada. Se mantiene constante a medida que pasa el tiempo. En nuestro ejemplo, y en la mayoría de los ejemplos simples, el hamiltoniano es solo la energía. Entonces, la energía total del péndulo no cambia a medida que se balancea hacia adelante y hacia atrás.
Finalmente, queremos considerar lo que hacen los caminos cercanos. Imagine un círculo de personas de pie en el espacio de fase. Todos están en trayectorias ligeramente diferentes pero cercanas.
Si los adelantamos un poco según la regla, deberían permanecer juntos, pero el círculo podría distorsionarse.
La regla para el hamiltoniano tiene una propiedad especial, que es que a medida que avanza un poco en el tiempo, el círculo de personas puede moverse todo junto y puede estirarse y aplastarse. Sin embargo, si el círculo se estira en dirección vertical, se aprieta a los lados. El resultado neto es que el área del círculo no cambia.
Para ver esto, imagine que dos personas se separaron un poco en la dirección hacia adelante / hacia atrás. La distancia entre ellos cambiará a medida que pase el tiempo. La cantidad que se separan depende de la diferencia en las pendientes donde están.
Lo mismo para dos personas separadas de lado a lado. Se separarán algunas, o posiblemente se acerquen más, a medida que pase el tiempo. Cuánto depende de la diferencia en las pendientes que ven.
Pero si imagina a dos personas separadas en diagonal, ahora combinan los dos escenarios anteriores. Se separarán algunas y algunas juntas, pero la cantidad que se separen en la dirección vertical será opuesta a la cantidad que se separan en la dirección horizontal. Como resultado, un círculo se comprime en una dirección cuando se estira en la otra, con el resultado de que su área es constante.
El péndulo tiene un espacio de fase muy simple y un hamiltoniano muy simple. Por lo general son más complicados. Mira este: 
Este es un famoso espacio de fase de la teoría del caos. De hecho, aquí solo vemos una parte del espacio de fases. Todo el asunto es aún más complicado. Haga una búsqueda en Google de “espacio de fase” y verá muchos más ejemplos.
Con estos ejemplos más complicados, a medida que pasa el tiempo, el círculo continúa estirándose y distorsionándose, al principio suavemente, pero eventualmente en una figura horrible y enrevesada, tal vez así: 
Si no pudieras mirar el espacio de fase lo suficientemente cerca, es posible que no te des cuenta de que toda esa estructura estaba allí. Puede que veas una gran mancha gris
Podrías pensar que todo el espacio de fase se había llenado, sin dejar forma de saber de dónde vienes. Si cada círculo eventualmente se convierte en una gota gigante que ocupa todo el espacio de fase, entonces ver una gota gigante no te permite adivinar cuál era el círculo original. La información se pierde. La entropía aumenta.
Sin embargo, según las ecuaciones del hamiltoniano, este no es el caso. El volumen total es el mismo que originalmente, y si supiéramos lo suficiente sobre el estado, podríamos rastrear nuestro camino de regreso al círculo. Debido a que esto es cierto para cualquier sistema que pueda ser descrito por un hamiltoniano, es cierto para todos los diferentes sistemas que conoces en física introductoria, simples o complicados.
En mecánica cuántica, el hamiltoniano es muy similar y las propiedades matemáticas tienen análogos cercanos, pero el estado del sistema se describe de manera diferente. Aún así, la formulación hamiltoniana hace que el vínculo entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica sea más evidente, otra gran razón de su importancia.
El problema es familiar. Encuentre la (s) posición (es) xy la velocidad v en función del tiempo dados sus valores iniciales. Nuestro buen amigo el Sr. Newton usará la ecuación de fuerza de resorte [matemática] F = kx = ma [/ matemática] para resolver este sistema. 
