¿El Axioma de elección es crítico para la base matemática de cualquier teoría física?

No lo es. Las leyes físicas siempre se formulan como un cálculo algorítmico para producir una respuesta a lo que sucede en una configuración física con un cálculo finito, si tal vez necesita más cálculo para obtener una mayor precisión. Los cálculos en ZF y ZFC son los mismos, los aspectos computacionales son absolutos y podría usar la Aritmética de Peano para formular física, excepto que podría no tener una formulación tan elegante, ya que tendría que representar números reales en aproximación finita.

Es más cierto que si comienza con ZF, no hay elección, y solo mira el modelo mínimo de Godel que contiene los ordinales, L, entonces la opción se mantiene en el modelo. Esto significa que, sea cual sea el modelo que desee utilizar para la teoría de conjuntos, hay una opción que obedece a un submodelo. Por lo tanto, no probará nada malo al asumir la elección.

Pero la razón por la que la elección es incorrecta es porque contradice la intuición probabilística de maneras innecesarias y sofocantes. Entonces, en física, es mejor negar la elección, y asumir que cada subconjunto de R es medible por Lebesgue. Esto hace que la definición de ciertas integrales de ruta, como las de un campo libre, o para el movimiento browniano, o para las teorías supersimétricas con un mapa explícito de Nicolai, sea pan comido.

En física matemática, no te molestas en preocuparte de que la probabilidad sea inconsistente con la elección, y permites teoremas cuya prueba implique selecciones aleatorias, algo que no es posible en presencia de elección. De hecho, usando selecciones aleatorias, es fácil ver que cada subconjunto de R es medible (esta es la definición formal de decir que las selecciones aleatorias tienen sentido), que R no tiene una base como un espacio vectorial sobre Q, y que Hay clases de equivalencia de números reales que no admiten una función de elección. Siempre es mejor tener probabilidad que el axioma de elección, por lo que no se progresará en la teoría de la medida sin rechazar la elección.

Creo que los fundamentos teóricos de la mecánica cuántica se basan en el hecho de que cada espacio de Hilbert tiene una base ortonormal, que solo se puede probar con el Axioma de elección.