No soy un experto en funciones especiales de ninguna manera, pero aquí están algunas de las que estoy familiarizado. Me limitaré a funciones especiales de “propósito general” más o menos, omitiendo ejemplos como la función zeta de Riemann que de alguna manera son más especializados que los siguientes ejemplos.
La función [matemáticas] \ Gamma [/ matemáticas] (http://en.wikipedia.org/wiki/Gam…) es una interpolación analítica compleja del factorial. Esta función especial es importante por muchas razones, entre las cuales se encuentra el estudio de ecuaciones funcionales de funciones L en teoría de números (http://en.wikipedia.org/wiki/Fun….
Las funciones de Bessel (http://en.wikipedia.org/wiki/Bes…) son otra clase interesante de funciones especiales. Estos también tienen conexiones con la teoría de números, por eso me gustan.
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Una amplia clase de funciones especiales interesantes son las funciones hipergeométricas http://en.wikipedia.org/wiki/Gau…. Estas (como las funciones de Bessel) pueden describirse como soluciones a ciertas ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones diferenciales en cuestión son bastante interesantes desde la perspectiva de la geometría algebraica.
Hay muchos más ejemplos. En estadística, la función de error gaussiana (http://en.wikipedia.org/wiki/Err…) surge de forma bastante natural. No soy físico, pero recuerdo de mi clase de pregrado de mecánica cuántica que apareció la función Airy (http://mathworld.wolfram.com/Air…).
Con la posible excepción de las funciones hipergeométricas, que, por ejemplo, tienen expansiones en serie con propiedades aritméticas interesantes, la mayoría de las funciones especiales no son tan interesantes en sí mismas (al menos para mí). Más bien, su interés radica en los contextos en los que surgen. Pero tu kilometraje puede variar.
