Siempre que el sistema esté en equilibrio, la probabilidad de encontrar un sistema en un estado dado es proporcional a [matemática] e ^ {- \ beta H} [/ matemática], donde [matemática] \ beta = 1 / k _ {\ text { B}} T [/ matemáticas] y [matemáticas] H [/ matemáticas] es el hamiltoniano (es decir, la energía). [matemática] k_B [/ matemática] es la constante de Boltzmann y [matemática] T [/ matemática] la temperatura. Esta llamada distribución de Boltzmann es la distribución de máxima verosimilitud, un hecho comúnmente mostrado usando multiplicadores de Lagrange. En lugar de pasar por esa derivación, simplemente daremos por sentado la distribución de Boltzmann.
1. La función de partición como factor de normalización
Si le doy una configuración particular de un sistema, entonces puede calcular la energía, y a una temperatura dada, sabe que la probabilidad del estado es proporcional a [matemáticas] e ^ {- \ beta H} [/ matemáticas]. Desafortunadamente, esto no te dice de inmediato la probabilidad de observar la configuración que te di. Simplemente te dice cuántas veces más o menos probable sería que alguna otra configuración que te dé con energía [matemáticas] E_2 [/ matemáticas]. Para calcular la probabilidad absoluta de observar el Estado 1, debe conocer todos los demás estados posibles y sus respectivos pesos. Armado con esta información, puede renormalizar mediante la suma de los pesos para obtener la probabilidad del Estado 1. La constante de proporcionalidad se denomina función de partición, [matemática] Z [/ matemática].
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Para recapitular en ecuaciones,
[matemáticas] p (\ text {Estado 1}) \ propto e ^ {- \ beta E_1} [/ matemáticas]
y
[matemáticas] p (\ text {Estado 1}) = \ frac {e ^ {- \ beta E_1}} {Z} \ text {, con} Z (\ beta) = \ sum _ {\ text {Todos los estados} i } e ^ {- \ beta E_i} [/ math]
Desde esta perspectiva, la función de partición es necesaria para calcular las probabilidades, pero es solo un factor de escala y apenas parece merecer un nombre tan alto. Sin embargo, tenga en cuenta que escribí [math] Z [/ math] en función de [math] \ beta [/ math]. Esto nos lleva a otra vista del papel de la función de partición.
2. Función de partición como función generadora
En mecánica estadística, a menudo se buscan las probabilidades de estados de configuración individuales solo como un medio para un fin. Lo que realmente le gustaría saber son cosas como la energía esperada promediada sobre todas las posibilidades. Esto se debe a que experimentalmente uno generalmente no caracteriza un sistema con resolución suficiente para distinguir entre configuraciones microscópicas, sino que mide cantidades macroscópicas (como la energía). El objetivo es hacer declaraciones sobre el comportamiento esperado de estas cantidades macroscópicas. Si puede calcular la función de partición analíticamente de modo que conozca la dependencia funcional de [math] \ beta [/ math], entonces la función puede darle trivialmente la energía esperada. Específicamente, la energía promedio viene dada por una derivada del logaritmo de la función de partición con respecto a [math] \ beta [/ math].
[matemáticas] \ scriptstyle – \ frac {\ partial \ ln Z} {\ partial \ beta} = \ sum _ {\ text {Todos los estados} i} \ frac {E_i e ^ {- \ beta E_i}} {Z} = \ sum _ {\ text {Todos los estados} i} E_i \ p ({\ text {State} i})
= \ langle E \ rangle [/ math]
Los corchetes angulados indican un valor esperado.
