¿Cuál fue la razón para que Einstein usara el Tensor Ricci en lugar del Tensor Riemann completo (sin contraer) en sus ecuaciones GR?

TL; DR: el uso del tensor de Riemann no contraído daría como resultado demasiadas ecuaciones.

Entonces, primero, la ecuación de Einstein debe ser lineal en el tensor de energía de estrés para reducir a la gravedad newtoniana.

En segundo lugar, las simetrías del tensor de Riemann son que el primer par y el último par de índices son antisimétricos y los índices son simétricos en el intercambio por pares del primer par y el último par de índices.

Estos dos significan que la única posibilidad de usar el tensor de Riemann sin contraer es

[matemáticas] R _ {\ mu \ nu \ sigma \ rho} \ propto g _ {\ mu \ sigma} T _ {\ nu \ rho} -g_ {nu \ sigma} T _ {\ mu \ rho} + g _ {\ nu \ rho} T _ {\ mu \ sigma} – g _ {\ mu \ rho} T _ {\ nu \ sigma} [/ math]

Si miramos los componentes que obtenemos

[matemáticas] R_ {0i0j} = g_ {00} T_ {ij} -g_ {ij} T_ {00} [/ matemáticas]

Haciendo la aproximación linealizada y mirando configuraciones estáticas encontramos

[Matemáticas] R_ {0i0j} \ sim \ partial_t \ partial_t h_ {ij} + \ partial_i \ partial_j h_ {00} – \ partial_0 \ partial_i h_ {0j} – \ partial_0 \ partial_j h_ {0i} \ sim \ partial_i \ partial_j h_ {00} [/ matemáticas]

entonces

[matemáticas] \ partial_i \ partial_j h_ {00} \ sim \ delta_ {ij} T_ {00} [/ math]

Tenga en cuenta que se trata de seis ecuaciones diferenciales para un campo: esto está sobre restringido. Lo más importante es que esta no es la ecuación de campo newtoniana

[matemáticas] \ nabla ^ 2 h_ {00} \ sim T_ {00} [/ matemáticas]

Por lo tanto, esto no funciona.

En términos más generales, este es un sistema sobre-restringido ya que el número de ecuaciones y el número de campos no se alinean: el tensor de Riemann tiene 20 componentes y el tensor métrico tiene 10.

Finalmente, con la (solo leve) retrospectiva de la formulación de la acción de Hilbert del problema, usted sabe que el campo independiente es el tensor métrico, que tiene dos índices. Las ecuaciones de campo para la gravedad están dadas por

[matemáticas] \ frac {\ delta} {\ delta g _ {\ mu \ nu}} S = 0 [/ matemáticas]

que es una ecuación de dos índices y no una ecuación de cuatro índices.

Como se menciona en una de las respuestas, esto se asemeja exactamente a las ecuaciones de Maxwell donde las 4 fuentes libres están dictadas por el “cálculo de formas diferenciales”, es decir, dxdy = -dydx, d (dx) = 0, y las otras 4 tienen fuentes de partículas cargadas. Se parecen a las ecuaciones de Poisson en 4D ya que se contraen dos índices.

En el caso de GR, entre los 20 componentes del tensor de curvatura de Riemann, 10 fuentes son ecuaciones de Einstein, las otras 10 fuentes libres están dictadas por las reglas de las formas diferenciales, formalmente llamadas identidad de Bianchi o identidad de Jacobi.

Puede hacer una pregunta similar sobre el electromagnetismo. ¿Por qué la densidad de carga está relacionada con la divergencia del campo eléctrico y no con el campo eléctrico en sí?

El tensor de Ricci está relacionado con la curvatura espacio-tiempo, y eso es lo que Einstein dedujo fue proporcional a la densidad del momento de energía.