La respuesta de Anurag Bishnoi explica por qué los planos proyectivos finitos son importantes, por lo que restringiré mi respuesta al plano proyectivo real.
La razón principal es que simplifican la geometría plana de muchas maneras.
Secciones cónicas
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Tome las secciones cónicas, por ejemplo. Hay elipses, hipérbolas y parábolas. Originalmente fueron definidos por los geómetras griegos antiguos como las intersecciones de varios planos y conos circulares. Desde Apollonius, los geómetras han usado conos dobles en lugar de simples.
Kepler y otros, sin duda, notaron que la parábola era un límite tanto de hipérbolas como de elipses. Usó lo que podemos llamar un principio de continuidad . (Esto fue un par de siglos antes de que se hicieran las definiciones formales de límites y continuidad).
Cuando cortas un cono con un plano paralelo a una de las líneas rectas en el cono, obtienes una parábola. 
Imágenes de las secciones cónicas de Lane Vosbury
en Seminole State College
Pero si cortas un cono con un plano que lo atraviesa, obtendrás una elipse. 
A medida que inclina el plano hacia arriba para que se vuelva paralelo a una línea en el cono, la elipse se alarga y se convierte en la parábola.
Si cortas el doble cono con un plano que atraviesa ambas partes del cono, obtendrás una hipérbola. 
Nuevamente, a medida que inclina el avión hacia atrás para que se vuelva paralelo a una línea en el cono, la elipse se alarga y se convierte en la parábola.
Alternativamente, puede dejar el avión solo e inclinar el cono en su lugar. Cuando haces eso, es más fácil ver cómo una elipse se transforma en una parábola y luego en una hipérbola.
Girard Desargues (1591–1661) tuvo la idea de que todas eran la misma curva si tomabas el avión para incluir puntos en el infinito. A medida que transforma una elipse en una parábola, hay un punto que estaba en la elipse pero ya no en la parábola. Ese punto se traslada a un punto en el infinito. Las parábolas tienen un punto en el infinito.
La gran revelación de Desargues fue que no solo hay un punto en el infinito, sino una línea completa de puntos en el infinito, un punto para cada dirección. Al estudiar la hipérbola, pudo ver que tenía dos puntos en el infinito, aunque parece que las dos curvas que componen la hipérbola tienen cuatro extremos. Las dos curvas que se acercan a una de las asíntotas de la hipérbola se acercan al mismo punto en el infinito. De hecho, la línea recta que es esa asíntota se acerca al mismo punto en ambos extremos.
Entonces, agregue una línea de puntos en el infinito al plano euclidiano estándar y afirme que a medida que avanza en una dirección, o en la dirección diametralmente opuesta, se acerca a uno de esos puntos. Lo que resulta es el plano proyectivo real.
En el plano proyectivo real, todas las secciones cónicas son iguales. Lo que quiero decir con eso es análogo a la afirmación de que en el plano euclidiano, todas las líneas son iguales; Puede realizar un movimiento rígido del plano euclídeo para mover cualquier línea a cualquier otra línea. En el plano proyectivo, todas las secciones cónicas son iguales; puede realizar un movimiento proyectivo del plano proyectivo para mover cualquier sección cónica a cualquier otra sección cónica.
Esa es una forma en que los planos proyectivos simplifican la geometría.
Dualidad
En el plano euclidiano, cualquiera de las dos líneas se encuentran o son paralelas. En el plano proyectivo, dos líneas cualesquiera se encuentran exactamente en un punto. Si los dos fueran paralelos en el plano euclidiano, se encontrarían en un punto de la línea en el infinito para esa dirección de líneas paralelas.
Esto hace las cosas mucho más simples en la geometría del plano proyectivo. No solo dos puntos determinan una línea única, sino que dos líneas determinan un punto único. De hecho, cada teorema para la geometría del plano proyectivo tiene un teorema dual que se encuentra intercambiando líneas por puntos.
Un ejemplo, está el teorema de Pascal. Es fácil establecer en geometría proyectiva. 
De la wiki sobre el teorema de Pascal
Dice que si tiene una sección cónica ABCDEF (dibujada como un círculo, ya que todas las secciones cónicas son proyectivamente iguales a los círculos) y toma las tres intersecciones de los lados opuestos, lo que significa que AB intersecta a DE, BC intersecta a EF y CD intersecta a FA ( esos son los tres puntos M, P y N en el digram), esas tres intersecciones son colineales.
Es más difícil establecer el teorema de Pascal en geometría euclidiana, ya que se deben hacer casos especiales siempre que haya un par de líneas paralelas.
El teorema dual del teorema de Pascal es el teorema de Brianchon. 
De las secciones cónicas de Xah Lee
El teorema de Brianchon dice que si tomas seis líneas tangentes a una sección cónica en ABCDEF, entonces las líneas que unen las tres intersecciones opuestas son coincidentes.
Geometría algebraica
La geometría algebraica es el estudio de curvas algebraicas, superficies y variedades de dimensiones superiores. Una curva algebraica en el plano xy viene dada por una ecuación polinómica en dos variables x e y. Acabamos de ver cómo las curvas cuadráticas se simplifican si tomas el plano proyectivo en lugar del plano euclidiano. Las curvas de mayor grado también son más fáciles de estudiar usando el plano proyectivo.
Para tratar el plano proyectivo algebraicamente, agrega una tercera variable z y homogeniza todas las ecuaciones. Una ecuación polinómica es homogénea si todos sus términos tienen el mismo grado. Por ejemplo, [matemáticas] 2x ^ 3 + 4xy + y = 10 [/ matemáticas] es una ecuación cúbica que no es homogénea; tiene términos de grado 3, 2, 1 y 0. Si multiplica esos términos por potencias de z para llevarlos a todos al grado 3, lo ha hecho homogéneo. Este se convierte en [matemáticas] 2x ^ 3 + 4xyz + yz ^ 2 = 10z ^ 3. [/ Matemáticas]
El plano proyectivo utiliza coordenadas homogéneas. Cada punto en el plano se nombra por un triple de números, como [4,2,18], pero diferentes triples en la misma proporción nombran el mismo punto. Así [6,3,27] nombra el mismo punto que [4,2,18].
Una ecuación homogénea en x, y y z describe una curva en la ecuación proyectiva ya que si un triple satisface la ecuación, cualquier otro triple proporcional a ella también lo hará.
Vea lo que sucede cuando comenzamos con la ecuación de esta hipérbola: [matemática] x ^ 2-y ^ 2 = 1. [/ matemática] Haga que sea homogéneo obtener [matemática] x ^ 2-y ^ 2 = z ^ 2. [/ math] Algunas soluciones para ello son [5,4,3], que nombra un punto, y [13,12, 5]. Podemos recuperar la hipérbola original en el plano euclidiano si establecemos z en 1.
Pero si toma [matemáticas] x ^ 2-y ^ 2 = z ^ 2 [/ matemáticas] y establece x en 1, obtenemos la ecuación [matemáticas] y ^ 2 + z ^ 2 = 1 [/ matemáticas] que es La ecuación de un círculo.
De hecho, la ecuación [matemáticas] x ^ 2-y ^ 2 = z ^ 2 [/ matemáticas] es la ecuación de un cono en el espacio euclidiano, el mismo cono que estudiaron los antiguos geómetras griegos. Establecer varias combinaciones lineales no triviales de x, y y z en 0 corresponde a la intersección de ese cono con varios planos.
