Atiyah o Grothendieck; ¿Quién es más influyente?

Esta pregunta tiene algunos años y es quizás un poco tonta: ¿cómo, después de todo, se cuantifica o compara la influencia intelectual? Pero creo que el impacto de Atiyah ha sido subestimado en las respuestas hasta ahora, así que me siento obligado a intervenir en su nombre.

En primer lugar, el teorema del índice Atiyah-Singer es realmente solo la mitad de su legado. Atiyah y Singer (y sus colaboradores) también inventaron la teoría del calibre tal como la conocemos y reconocieron sus implicaciones en la topología de baja dimensión y la teoría del campo topológico (este último fue inventado por Atiyah). Es cierto que otros hicieron mucho trabajo pesado en estas áreas: Donaldson / Floer en topología de baja dimensión y Witten en teoría de campo, por ejemplo, pero Grothendieck sería la figura más importante que es si no fuera por el brillante trabajo. de Deligne, Serre, Artin, Mumford, etc. Hay que argumentar que Atiyah arroja tanta sombra sobre la topología y la física matemática como Grothendieck sobre la geometría algebraica.

En segundo lugar, el teorema del índice Atiyah-Singer es uno de los resultados más poderosos y hermosos en todas las matemáticas, y es absurdo darle a Grothendieck algún crédito significativo por ello. Por un lado, su formulación y prueba del teorema se inspiró tanto en el teorema de la firma como en Riemann-Roch; de hecho, la primera prueba del teorema (no en los documentos de IEO) usó la teoría del cobordismo directo en lugar de la teoría K. Además, la teoría K topológica tiene un sabor muy diferente de la teoría K algebraica de Grothendieck, y se requiere mucho trabajo duro (realizado principalmente por Atiyah, Singer y Bott) para resolver problemas difíciles en la topología. Acreditar a Grothendieck por los logros de la teoría K topológica sería un poco como acreditar a Gelfand por la teoría de esquemas de Grothendieck simplemente porque la dualidad de Gelfand le enseñó a Grothendieck a pensar geométricamente sobre los ideales; sí, sin duda, fue una pieza crítica de inspiración, pero requiere muchos más saltos creativos para despegar la teoría de Grothendieck. Además, los aspectos topológicos del teorema representan a lo sumo un tercio de los avances necesarios para demostrarlo: se requerían innovaciones de importancia similar en el análisis (la teoría de los operadores pseudo-diferenciales) y el álgebra (álgebras de Clifford y grupos de espín). Finalmente, Atiyah, Singer y Patodi dieron otra prueba del teorema del índice utilizando núcleos de calor que no tenían nada que ver con Grothendieck; esta prueba sigue siendo crítica para muchas aplicaciones y generalizaciones del teorema, como la teoría del índice para múltiples con límite.

¿Algo de eso hace que Atiyah sea “más influyente” que Grothendieck? No lo sé. Ambos matemáticos tuvieron tanto éxito como lo fueron porque se rodearon de un ecosistema de colaboradores y estudiantes que los desafiaron y ampliaron sus ideas; en el caso de Atiyah, es bastante difícil separar su influencia de la de Singer. Entonces, si bien su destreza individual no debe ser subestimada, creo que hay mucho más que aprender de su espíritu de colaboración.

No me gusta esta pregunta porque enfoca toda la matemática en solo dos personas. Incluso la contribución de Grothendieck es una idea concebida en otro lugar (y creo que es de los seminarios de Cartan). Pero por el bien de esta pregunta, la investigación de Atiyah fue influenciada en parte por el estilo de Grothendieck, por lo que Grothendieck sería mi respuesta.

Atiyah es famoso por el teorema del índice Atiyah-Singer. Esa es una aplicación del método de Grothendieck en la prueba del teorema de Riemann-Roch, desde la configuración algebraica hasta la configuración topológica. Atiyah y Singer tuvieron que encontrar nuevos “giros” para adoptar el enfoque, pero el marco y la idea revolucionaria fueron de Grothendieck. Entonces Grothendieck es esencialmente el padre del teorema de Atiyah-Singer. Eso es lo mejor de Atiyah, pero solo una de las muchas ideas innovadoras de Grothendieck.

Basado en lo anterior, en mi opinión, Atiyah está al menos dos niveles por debajo de Grothendieck (siendo un científico de primer rango).

Definitivamente Grothendieck. Lo veo como el padre de la geometría algebraica moderna y su tiempo en IHES debería considerarse la edad de oro de IHES, donde trató de unificar una gran cantidad de campos de las matemáticas.

Grothendieck Fácilmente.

Incluso ofrecería esto: Grothendieck es el mejor matemático de todos los tiempos.

Están él y Gauss. Euler 3er lugar. Arquímedes 4to.