¿Puede un grupo tener un número impar de elementos?

¡Sí puede! Las inversiones no tienen que venir en pares ya que un elemento puede ser su propio inverso. De hecho, la identidad de cualquier grupo es necesariamente su propio inverso.

Supongamos que tiene un grupo G de tres elementos. Uno de los elementos e debe ser la identidad, por los axiomas del grupo. Elija uno de los otros elementos, diga a , y considere el subgrupo generado por él. Según el teorema de Lagrange, este subgrupo debe tener tres elementos (ya que a no es la identidad) y, por lo tanto, es igual a G. Esto muestra que cualquier grupo con tres elementos es cíclico de orden 3 y, por lo tanto, son isomorfos entre sí. ¡Puede usar esto para mostrar que TODOS los grupos de primer orden son cíclicos y, por lo tanto, isomórficos entre sí!

Esto debería servir como un ejemplo patológico.

Considere el conjunto {1} con la operación de multiplicación normal.

Cierre: 1 * 1 = 1.
Asociatividad: 1 * (1 * 1) = 1 = (1 * 1) * 1.
Elemento de identidad: 1, para 1 * 1 = 1.
Inverso: 1 para todos los elementos, para 1 * 1 = 1.

(Todavía no he tomado clases formales de álgebra abstracta, así que corríjame si me equivoco, pero creo que lo anterior debería funcionar).