¿Cuántos enteros entre 1 y 1,000,000 son cuadrados perfectos pero no cubos perfectos?

Sea n un número entero tal que [matemática] n = a ^ 2 = b ^ 3 [/ matemática], y sea p un factor primo de n. Obviamente, p también es un factor de a y b, es decir, aparece en a como [math] a = p ^ {\ alpha} \ dots [/ math] y en b como [math] b = p ^ {\ beta} [/matemáticas].
Debido a que tenemos [matemáticas] n = a ^ 2 = b ^ 3 [/ matemáticas], tenemos [matemáticas] 2 \ alpha = 3 \ beta [/ matemáticas]. 2 y 3 son números primos (hay números primos …), entonces 3 divide [matemáticas] \ alpha [/ matemáticas] y 2 divide [matemáticas] \ beta [/ matemáticas]. Podemos escribir [math] \ alpha = 3 \ alpha ^ {‘} [/ math] o, en otras palabras, p aparece en a como [math] a = p ^ {6 \ alpha ^ {‘}} \ dots [/matemáticas].
Lo mismo para b.
Por lo tanto, cualquiera que sea el factor primo que tengamos en n, su exponente es un múltiplo de 6, es decir, [matemática] n = (\ puntos) ^ 6 [/ matemática]. Y recíprocamente, si es así, es un cubo y un cuadrado. Entonces caracteriza la propiedad de ser ambos.

Para resumir, todos los cuadrados inferiores a N son números de la forma [math] n ^ 2 [/ math] con n que va de 0 a [math] \ lfloor N ^ {1/2} \ rfloor [/ math], el piso de [matemáticas] N ^ {1/2} [/ matemáticas]. Todos los enteros que son cuadrados y cubos más bajos que N son números de la forma [math] n ^ 6 [/ math] con n que va de 0 a [math] \ lfloor N ^ {1/6} \ rfloor [/ math] .
Por lo tanto, el recuento de números que son cuadrados perfectos pero no cubos perfectos se realiza mediante [math] \ mathcal {N} = \ lfloor N ^ {1/2} \ rfloor – \ lfloor N ^ {1/6} \ rfloor [/ math] .

Entre 1 y 1,000,000, hay 1000 cuadrados perfectos y 100 cubos perfectos.
1000000 = 1000 ^ 2 = 100 ^ 3
Tome cualquier número entre 1 y 1000000, debe tener la forma:
A ^ 2 y al mismo tiempo B ^ 3
es decir, A ^ 2 = B ^ 3
donde, A se encuentra entre 1 y 1000
B miente entre 1 y 100
Ahora, B ^ 3 será un cuadrado perfecto solo cuando B mismo sea un cuadrado perfecto
(Escriba la factorización prima para B ^ 3 para entender esto)

Entonces, solo encuentra los cuadrados perfectos entre 1 y 100, que son –
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 (= B)
Toma sus cubos
1, 64, 729, 4096, 15625, 46656, 117649, 262144, 531441, 1000000 (= B ^ 3)

Entonces, estos son los números que son cuadrados perfectos y cubos perfectos. Y para obtener tu respuesta, solo resta 10 del número total de cuadrados perfectos.
1000-10 = 990

Aquí hay una implementación bastante sencilla para resolver este problema usando Java:

  paquete com;

 clase pública PerfectSquaresButNotPerfectCubes {
	 int privado estático máximo = 1000000;
	 public static void main (String [] args) {
		 int cuenta = 0;
		
		 para (int i = 1; i <= Math.sqrt (máximo); ++ i)
			 if (! isPerfectCube (i * i))
				 recuento ++;
		
		 System.out.println (cuenta);
	 }
	
	 booleano estático privado isPerfectCube (número largo)
	 {
		 raíz_ cubica larga = (larga) Math.cbrt (número);
		 return cube_root * cube_root * cube_root == número;
	 }
 }

Salida:

  990

Explicación:

Entonces, esencialmente, lo que estamos tratando de lograr usando este código es descubrir que hay [matemáticas] 990 [/ matemáticas] tales números iterando desde [matemáticas] 1 [/ matemáticas] a través de la raíz cuadrada del límite superior [matemáticas] 1000000 [/ math], es decir, [math] 1000 [/ math], y verificar lado a lado si el cuadrado de todos esos números es un cubo perfecto o no .

Espero que ayude.

La respuesta se obtiene contando los cuadrados perfectos (es decir, 1000) y contando los números que son cuadrados y cubos (es decir, 10). Entonces, el número de cuadrados que no son cubos es 1000-10 = 990.

| A | = {1 ^ 2,2 ^ 2,… 100 ^ 2} es decir, números de enteros = 100 (no puede exceder 100, si excede será más de 10,000)
| B | = {1 ^ 3,2 ^ 3,… 21 ^ 3} es decir, no.s de enteros = 21 (no puede exceder 21, si excede será más de 10,000)
| AnB | = {1 ^ 6,2 ^ 6, .. 4 ^ 6} = no.s de enteros = 4 (no puede exceder 4, si excede será más de 10,000)
entonces, aplicando el principio de exclusión mutua,
decir, | AuB | = | A | + | B | – | AnB | = 100 + 21-4 = 117

Ok, veamos …

1 ^ 2 = 1
2 ^ 2 = 4
3 ^ 2 = 9

Ir de esta manera va a ser un poco tedioso, pero observemos un hecho simple …

√100 = 10
√10000 = 100

√1 seguido de 2n 0s = 1 seguido de n 0s!

Muy bien, juntemos las piezas …

Sigue cuadrando los números y el último número cuyo cuadrado es <= 1000000 será nuestra respuesta, pero ¿no es muy simple si ponemos nuestra observación en el lugar que obtenemos?

1000 cuadrados perfectos y
100 cubos perfectos ..

Voilà!

¿Cómo llegué a los cubos? Otra vez la misma observación con un pequeño giro.

√1 seguido de 3n 0s = 1 seguido de n 0s!

🙂

Respuesta rápida de 10 segundos: 1 M es 1 K al cuadrado, por lo que hay 1,000 cuadrados perfectos. 1 M es 100 cubos, entonces hay 100 cubos perfectos.

NOTA: la pregunta era “cuántos” no “cuáles”.

Encontré una fórmula, si quieres encontrar hasta n …
la solución será = n ^ (1/2) -n ^ (1/6)
donde n es un cubo perfecto y un cuadrado perfecto
Intenté con diferentes valores, funciona bien si encuentras algún error, dime