Sea n un número entero tal que [matemática] n = a ^ 2 = b ^ 3 [/ matemática], y sea p un factor primo de n. Obviamente, p también es un factor de a y b, es decir, aparece en a como [math] a = p ^ {\ alpha} \ dots [/ math] y en b como [math] b = p ^ {\ beta} [/matemáticas].
Debido a que tenemos [matemáticas] n = a ^ 2 = b ^ 3 [/ matemáticas], tenemos [matemáticas] 2 \ alpha = 3 \ beta [/ matemáticas]. 2 y 3 son números primos (hay números primos …), entonces 3 divide [matemáticas] \ alpha [/ matemáticas] y 2 divide [matemáticas] \ beta [/ matemáticas]. Podemos escribir [math] \ alpha = 3 \ alpha ^ {‘} [/ math] o, en otras palabras, p aparece en a como [math] a = p ^ {6 \ alpha ^ {‘}} \ dots [/matemáticas].
Lo mismo para b.
Por lo tanto, cualquiera que sea el factor primo que tengamos en n, su exponente es un múltiplo de 6, es decir, [matemática] n = (\ puntos) ^ 6 [/ matemática]. Y recíprocamente, si es así, es un cubo y un cuadrado. Entonces caracteriza la propiedad de ser ambos.
Para resumir, todos los cuadrados inferiores a N son números de la forma [math] n ^ 2 [/ math] con n que va de 0 a [math] \ lfloor N ^ {1/2} \ rfloor [/ math], el piso de [matemáticas] N ^ {1/2} [/ matemáticas]. Todos los enteros que son cuadrados y cubos más bajos que N son números de la forma [math] n ^ 6 [/ math] con n que va de 0 a [math] \ lfloor N ^ {1/6} \ rfloor [/ math] .
Por lo tanto, el recuento de números que son cuadrados perfectos pero no cubos perfectos se realiza mediante [math] \ mathcal {N} = \ lfloor N ^ {1/2} \ rfloor – \ lfloor N ^ {1/6} \ rfloor [/ math] .
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