De alguna manera, esto depende de qué quiere decir con “parte del límite”. Es fácil ver que esto no puede suceder para un arco. Al restar una constante, podemos suponer que el valor constante es cero. Ahora, si multiplica muchas pequeñas rotaciones de su función, el producto será analítico en su interior y cero en el límite. Por Cauchy este producto es igual a cero en todas partes. Entonces es fácil ver que la función original debe ser cero.
Alternativamente, si su función es cero en un arco, puede extenderla analíticamente a una vecindad de este arco mediante la reflexión de Schwarz. La extensión tendrá un arco de ceros dentro de su dominio de analiticidad. Por lo tanto, es idénticamente cero.
Finalmente, hay un resultado mucho más difícil que si una función analítica en el disco es continua hasta el límite e igual a 0 en el conjunto de límites de medida positiva, entonces es cero en todas partes
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